Testo L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta. Soluzione L’insieme dei numeri naturali \(\mathbb{N}=\{0,1,2…\}\) è linsieme dei numeri razionali \(\mathbb{Q}=\{m/n|m, n\in\mathbb{N} \}\) sono equipotenti poiché tra di loro vi è una corrispondenza biunivoca. E poichè un insieme equipotente a \(\mathbb{N}\) si dice avente la \(\textit{potenza del […]

Testo Sia \(f(x)=3^x\). Per quale valore di \(x\), approssimato a meno di \(10^-3\), la pendenza della retta tangente della curva nel punto \( (x,f(x))\) è uguale a 1? Soluzione La pendenza della retta tangente ad una curva di equazione \(f(x)=3^x\) è espressa dalla derivata prima \(f'(x)\) che in tal caso risulta \(f'(x)=\ln3\cdot3^x\). Posto quindi \[ […]

Testo Una moneta da 1 euro (il suo diametro è 23,25mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)? Soluzione \(\textbf{Fig. 1.}\) In Fig. 1 sono mostrate le […]

Testo Si calcoli \[ \lim_{x\to 0^+}{\frac{2^{3x}-3^{4x}}{x^2}}\] Soluzione Il limite richiesto conduce ad un forma indeterminata del tipo 0/0.Infatti: \[ \lim_{x\to0+}{2^{3x}-3^{4x}=f(0)=1-1=0}\hspace{1cm}\text{e}\hspace{1cm} \lim_{x\to0+}{x^2}=0 \] Sfruttiamo quindi il teorema di De L’H\(\hat{o}\)pital, ovvero studiamo il limite del rapporto delle derivate di \(f(x)\) e \(g(x)\). \[ \lim_{x\to0+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}= \lim_{x\to0+}{\frac{3\ln2\cdot2^{3x}-4\ln3\cdot3^4x}{2x}} \] e poichè risulta \[ \lim_{x\to0+}{(3\ln2\cdot2^{3x}-4\ln3\cdot3^{4x})}=\ln\left(\frac{8}{81}\right)<0 \hspace{1mm}\text{e}\hspace{1cm}\lim_{x\to0+}2x=0^+\], possiamo concludere che il […]

Testo Siano \(f\) e \(g\) le funzioni definite da \(f(x)=e^x\) e \( g(x)=\ln x\). 1. Fissato un riferimento cartesiano Oxy, si disegnino i grafici di \(f\) e di \(g\) e si calcoli l’area della regione R che essi delimitano tra \(x=\frac{1}{2}\) e \( x=1\). 2. La regione R, ruotando attorno all’asse \(x\), genera il solido […]

Testo Della funzione \(f\), definita per \(0\leq x\leq 6\), si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua derivata \(f'(x)\) presenta due tangenti orizzontali per \(x=2\) e \(x=4\). Si sa anche che \(f(0)=9\), \(f(3)=6\), \(f(5)=3\). Si trovino le ascisse dei punti di flesso di \(f\) motivando le risposte […]

 

Quesito10 Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni \(x\) reale? \(\;\cos(\sin(x^2+1))\) \(\;\sin(\cos(x^2+1))\) \(\;\sin(\ln(x^2+1))\) \(\;\cos(\ln(x^2+1))\) Si giustifichi la risposta. Soluzione Analizziamo i singoli casi. A) \(\cos (\sin(x^2+1))\) è una funzione composta del tipo \(cos[f(x)]\) e pertanto il suo dominio si estende su tutto \(\mathbb{R}\). Dato che \(x^2+1 \geq 1\) \(\forall x\in\mathbb{R}\), il codominio di \(\sin […]

Quesito9 Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti \(A\) e \(B\), situati dalla stessa parte rispetto ad una retta \(r\), nel determinare il cammino minimo che congiunge \(A\) e \(B\) toccando \(r\). Si risolva il problema nel modo che si preferisce. […]

Quesito8 Qual è il valore medio di \(f(x)=\frac{1}{x}\;da\; x=1\; a\; x=e\)? Soluzione La funzione \(f(x)\) è continua e quindi per calcolarne il suo valore medio si ricorre teorema della media integrale \[ \overline{f}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx. \] che in questo caso è \[ \overline{f}=\frac{1}{e-1}\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=\frac{1}{e-1}[ln|x|]_1^e=\frac{1}{e-1}(\ln e -\ln 1)=\frac{1}{e-1} \]