Testo Un foglio rettangolare, di dimensioni a e b, ha area 1 \(\mbox{m}^2\) e forma tale che, tagliandolo a metà (parallelamente al lato minore) si ottengono due rettangoli simili a quello di partenza. Quali sono le misure di a e b? Soluzione Se a e b sono le dimensioni del foglio rettangolare (fig. 1) con […]

Testo La funzione f ha il grafico in figura. Se \(g(x) = \int_{0}^{x} f(t) \ \mbox{d}t\), per quale valore positivo di x, g ha un minimo? Si illustri il ragionamento seguito. Soluzione la funzione g appare come la funzione integrale di f. Per il teorema di Torricelli-Barrow sappiamo che \(g'(x) = f(x)\) per cui, volendo […]

Testo Se la figura a lato rappresenta il grafico di \(f(x)\), quale dei seguenti potrebbe essere il grafico di \(f'(x)\)? Si giustifichi la risposta. Soluzione Il grafico della \(f(x)\), mostra una funzione dispari, monot\`{o}na crescente in \([-\infty,-2] \ \cup \ [2,+\infty]\), decrescente in [-2, 2], con un massimo relativo in \(x = -2\) e un […]

Testo Si calcoli \[ \lim_{x \rightarrow 0} 4 \ \frac{\sin x \cos x – \sin x}{x^2}. \] Soluzione Il limite proposto è manifestamente un caso di indeterminazione del tipo \(0/0\) per cui dovrà essere risolto riscrivendo la funzione ad argomento in forme alternative oppure analizzare, eventualmente, l’ applicabilità del teorema di De L’H\^{o}pital. Seguendo la […]

Testo Si calcoli il dominio della funzione \[ f(x) = \sqrt{1-\sqrt{2-\sqrt{3-x}}}. \] Soluzione Le condizioni che determinano il dominio dell’ equazione si riassumono nel sistema di disequazioni: \[ \begin{cases} 3-x \geq 0 2-\sqrt{3-x} \geq 0 1-\sqrt{2-\sqrt{3-x}} \geq 0 . \end{cases} \] La prima possiede le soluzioni \(x \leq 3\) mentre la seconda comporta i passaggi […]

Testo Un triangolo ha area 3 e due lati che misurano 2 e 3. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta. Soluzione Se poniamo \(\beta\) l’angolo in rosso in fig.1, l’ area \(\mathcal{A}\) del triangolo è espressa come \(\frac{1}{2}\overline{AB} \cdot \overline{BC} \ \sin\beta\). Sostituendo in valori noti \(\sin\beta=1\), e quindi \(\beta=\frac{\pi}{2}\). […]

 

Testo Si provi che fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una sfera di raggio \(r\), quello di minima area laterale ha il vertice che dista \(r\sqrt{2}\) dalla superficie sferica. Soluzione Consideriamo la sezione piana del cono passante per il suo vertice \(V\) e per il centro \(C\) della sfera (Fig.1). Poichè il cono […]

Testo Un’azienda industriale possiede tre stabilimenti (A,B e C). Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi, e di questi il 10\% sono difettosi. Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7\% sono difettosi. Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5\% sono difettosi. Sapendo che un […]

Testo Si dimostri che la curva di equazione \(y=x^3+ax+b\) ha uno ed un solo punto diflesso rispetto a cui è simmetrica. Soluzione L’equazione \(y=x^3+ax+b\) rientra nelle equazioni rappresentative delle funzioni cubiche \( y=ax^3+bx^2+cx+d\) le quali sono simmetriche rispetto al loro punto di flesso. Per determinare il punto di flesso, calcoliamo \( y’=3x^2+a\) e \(y”=6x\). \(y”\) […]