Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\frac{x-1}{x^{2}}dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{x}{x^{2}}dx-\int\frac{1}{x^{2}}dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{x}dx-\int x^{-2}dx \] \[ F\left(x\right)=\ln x+\frac{1}{x}+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=F\left(e\right)-F\left(1\right) \] \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=\left(\ln e+\frac{1}{e}+C\right)-\left(\ln1+1+C\right) \] \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=1+\frac{1}{e}+C-0-1-C=\frac{1}{e} \] Quindi otteniamo: \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=\frac{1}{e} \] […]

Determinare le coordinate dei punti comuni alle due curve aventi le equazioni \[ f\left(x\right)=3x^{2}+5x-1\;;\; g\left(x\right)=2x+5 \] e calcolare la misura dell’area della parte di piano limitata dagli archi delle due curve considerate, aventi per estremi i punti prima determinati. Soluzione Determiniamo i punti di intersezione delle due funzioni: \[ \left\{ \begin{array}{c} y=3x^{2}+5x-1\\ y=2x+5 \end{array}\right. \] […]

Esercizi svolti sul calcolo dell’area sottesa da una funzione, tramite l’utilizzo degli integrali definiti: Area sottesa da una curva – Problema 1Area sottesa da una curva – Problema 2Area sottesa da una curva – Problema 3Area sottesa da una curva – Problema 4Area sottesa da una curva – Problema 5

Esercizi svolti sul calcolo di aree di figure piane sul piano cartesiano, tramite l’utilizzo degli integrali definiti: Calcolo dell’area sottesa da una curva (5 esercizi svolti)Calcolo dell’area compresa tra due curve (5 esercizi svolti)Area compresa tra due curve – con rappresentazione grafica – (in arrivo)Calcolo di aree – Problemi di riepilogo (in arrivo)

Determinare la misura dell’area della parte di piano delimitata dall’asse delle y e dalla parabola di equazione \[ x=y^{2}-4 \] Soluzione La parabola ad asse orizzontale interseca l’asse y nei punti \[ \left\{ \begin{array}{c} y_{1}=-2\\ y_{2}=+2 \end{array}\right. \] La funzione data ha come variabile indipendente la y. Di conseguenza per determinare l’area richiesta basterà calcolare […]

Determinare la misura dell’area della parte di piano limitata dall’asse delle ascisse, dal grafico della funzione \[ y=\ln x \] e dalle rette x=1 e x=e Soluzione La funzione logaritmo nell’intervallo dato è positiva. Di conseguenza per determinare l’area richiesta basterà calcolare l’integrale definito della funzione data, con estremi di integrazione \[ \left\{ \begin{array}{c} a=1\\ […]

Determinare la misura dell’area del trapezoide delimitato dalla curva di equazione \[ y=e^{2x} \] nell’intervallo \[ I=\left[\frac{1}{2};3\right] \] Soluzione Per determinare l’area basterà calcolare l’integrale definito della funzione data, con estremi di integrazione \[ \left\{ \begin{array}{c} a=\frac{1}{2}\\ b=3 \end{array}\right. \] Risulta quindi \[ \int_{\frac{1}{2}}^{3}e^{2x}dx=\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_{\frac{1}{2}}^{3} \] \[ \int_{\frac{1}{2}}^{3}e^{2x}dx=\frac{e^{6}}{2}-\frac{e}{2} \] \[ \int_{\frac{1}{2}}^{3}e^{2x}dx=\frac{e}{2}\left(e^{5}-1\right) \] Otteniamo l’area: \[ A=\frac{e}{2}\left(e^{5}-1\right) […]

Determinare la misura dell’area della parte di piano delimitata dalla curva di equazione \[ y=-x^{2}+4x-3 \] e dall’asse delle x. Soluzione La funzione data è una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y, rivolta verso il basso. Calcoliamo le sue intersezioni con l’asse x: \[ \left\{ \begin{array}{c} y=0\\ y=-x^{2}+4x-3 \end{array}\right. \] \[ -x^{2}+4x-3=0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} […]

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{0}^{1}\arcsin xdx \] Soluzione Calcoliamo per parti l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\arcsin xdx \] \[ f\left(x\right)=\arcsin x\rightarrow f’\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \] \[ g’\left(x\right)=1\rightarrow g\left(x\right)=x \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x+\frac{1}{2}\int-2x\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}dx \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ […]

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}dx \] \[ \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+2} \] \[ \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=\frac{\left(A+B\right)x+2A+3B}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)} \] \[ \left\{ \begin{array}{c} A+B=0\\ 2A+3B=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} A=-1\\ B=+1 \end{array}\right. \] \[ F\left(x\right)=-\int\frac{1}{x+3}dx+\int\frac{1}{x+2}dx \] \[ F\left(x\right)=\ln\left|\frac{x+2}{x+3}\right|+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero […]