Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{\cos^{2}x}dx+\int\frac{1}{\sin^{2}x}dx \] \[ F\left(x\right)=\tan x-co\tan x+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=F\left(\frac{\pi}{3}\right)-F\left(\frac{\pi}{6}\right) \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\left(\tan\frac{\pi}{3}-co\tan\frac{\pi}{3}+C\right)-\left(\tan\frac{\pi}{6}-co\tan\frac{\pi}{6}+C\right) \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3} \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3} \] Quindi otteniamo: \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\frac{4\sqrt{3}}{3} \] Esercizio […]

Esercizi svolti sul calcolo degli integrali definiti: Calcolo di integrali definiti – Batteria 1 (3 esercizi svolti)Calcolo di integrali definiti – Batteria 2 (3 esercizi svolti)Calcolo di integrali definiti – Batteria 3 (3 esercizi svolti)Calcolo di integrali definiti – Batteria 4 (3 esercizi svolti)Calcolo di integrali definiti – Batteria 5 (3 esercizi svolti)

L’integrale definito permette di calcolare, nel caso di una funzione di una sola variabile, l’area compresa tra il suo grafico e l’asse delle x, entro un dato intervallo nel dominio. Formulari sugli integrali definiti: Integrali definiti e loro proprietà – Formulario Esercizi svolti sugli integrali definiti: Calcolo di integrali definiti (15 esercizi svolti) Integrali definiti […]

Determinare la misura dell’area della parte di piano delimitata dall’asse delle ascisse e dalla curva \[ y=\sin x \] nell’intervallo \[ I=\left[0;\pi\right] \] Soluzione La funzione seno nell’intervallo dato è positiva, e agli estremi di tale intervallo interseca l’asse x. Per determinare l’area richiesta basterà quindi calcolare l’integrale definito della funzione data, con estremi di […]

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{0}^{1}\left(3x^{2}-x+2\right)dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\left(3x^{2}-x+2\right)dx=x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+2x+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{0}^{1}\left(3x^{2}-x+2\right)dx=F\left(1\right)-F\left(0\right) \] \[ \int_{0}^{1}\left(3x^{2}-x+2\right)dx=\left(1^{3}-\frac{1^{2}}{2}+2\cdot1+C\right)-\left(0^{3}-\frac{0^{2}}{2}+2\cdot0+C\right) \] \[ \int_{0}^{1}\left(3x^{2}-x+2\right)dx=1-\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2} \] Quindi otteniamo: \[ \int_{0}^{1}\left(3x^{2}-x+2\right)dx=\frac{5}{2} \] Esercizio 2 \[ \int_{-\frac{1}{2}}^{1}\left(3x^{3}-4x^{2}+3x-1\right)dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\left(3x^{3}-4x^{2}+3x-1\right)dx=\frac{3}{4}x^{4}-\frac{4}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-x+C \] […]

Determinare le coordinate dei punti comuni alle due curve aventi le equazioni \[ 3x+2y-6=0\;;\; y=\frac{3}{x} \] e calcolare la misura dell’area della parte di piano limitata dagli archi delle due curve considerate, aventi per estremi i punti prima determinati. Soluzione Le due funzioni hanno equazione \[ f\left(x\right)=-\frac{3}{2}x+3\;;\; g\left(x\right)=\frac{3}{x} \] Determiniamo i punti di intersezione delle […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int e^{-2x}\sin xdx \] Soluzione Questo integrale si può risolvere attuando per due volte il metodo di integrazione per parti: \[ \int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}\cos xdx \] \[ \int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}-\frac{e^{-2x}\cos x}{4}-\frac{1}{4}\int e^{-2x}\sin xdx \] \[ \frac{5}{4}\int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}-\frac{e^{-2x}\cos x}{4} \] […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int e^{3x-1}dx \] Ponendo \[ t=3x-1 \] ricaviamo x: \[ x=\frac{1+t}{3} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}\rightarrow dx=\frac{1}{3}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int e^{3x-1}dx=\int e^{t}\cdot\frac{1}{3}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}\int e^{t}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}e^{t}+C \] Risulta quindi: \[ \int […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per parti: Esercizio 1 \[ \int\sin\ln xdx \] L’integrale dato può essere scritto come \[ \int\sin\ln xdx=\int1\cdot\sin\ln xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\sin\ln x \] \[ g’\left(x\right)=1 \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=\cos\ln x\cdot\frac{1}{x} \] \[ g\left(x\right)=x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per parti: Esercizio 1 \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx \] L’integrale dato può essere scritto come \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\int1\cdot\sqrt{1-x^{2}}dx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-x^{2}} \] \[ g’\left(x\right)=1 \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \] \[ g\left(x\right)=x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e […]