Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per parti: Esercizio 1 \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx \] L’integrale dato può essere scritto come \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\int1\cdot\sqrt{1-x^{2}}dx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-x^{2}} \] \[ g’\left(x\right)=1 \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \] \[ g\left(x\right)=x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx \] Soluzione Possiamo ricondurre questo integrale ad una somma di integrali immediati: \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx=\int\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}dx+3\int\frac{x}{x^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx=\int dx+3\cdot\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}+1}dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx=x+\frac{3}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C \] Esercizio 2 \[ \int\frac{\sqrt[5]{\tan^{2}x}}{\cos^{2}x}dx \] Soluzione Visto che \[ \frac{1}{\cos^{2}x} \] è la derivata della tangente, possiamo ricondurlo ad […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx \] Soluzione Visto che -seno è la derivata del coseno, si può ricondurlo ad un integrale immediato: \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=\int\sin x\left(\cos x\right)^{-4}dx \] \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=-\int-\sin x\left(\cos x\right)^{-4}dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=-\left(-\frac{1}{3}\cos^{-3}x\right)+C \] \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=\frac{1}{3\cos^{3}x}+C \] Esercizio 2 \[ […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx \] Soluzione Visto che il Delta del denominatore è negativo, e il numeratore è di primo grado, possiamo ricondurre questo integrale ad una somma tra l’integrale di un logaritmo e quello di un arcotangente: \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+4}{x^{2}-2x+10}dx \] \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-2+6}{x^{2}-2x+10}dx \] \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{x^{2}-2x+10}dx+\frac{1}{2}\cdot6\int\frac{1}{x^{2}-2x+10}dx \] […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int\tan^{4}xdx \] Ponendo \[ t=\tan x \] ricaviamo x: \[ x=\arctan t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^{2}}\rightarrow dx=\frac{1}{1+t^{2}}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\tan^{4}xdx=\int\frac{t^{4}}{1+t^{2}}dt \] Dividiamo \[ t^{4}:\left(t^{2}+1\right) \] ottenendo quoziente \[ Q\left(x\right)=t^{2}-1 \] e resto \[ R\left(x\right)=1 \] […]

Esercizi svolti sul calcolo degli integrali indefiniti con il metodo di integrazione per parti: Integrali indefiniti per parti – Batteria 1 (6 esercizi svolti)Integrali indefiniti per parti – Batteria 2 (4 esercizi svolti)Integrali indefiniti per parti – Batteria 3 (3 esercizi svolti)Integrali indefiniti per parti – Batteria 4 (3 esercizi svolti)

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per parti: Esercizio 1 \[ \int x^{2}\sin xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=x^{2} \] \[ g’\left(x\right)=\sin x \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=2x \] \[ g\left(x\right)=-\cos x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int x^{2}\sin xdx=-x^{2}\cos […]

Esercizi svolti sul calcolo degli integrali indefiniti con il metodo di integrazione per sostituzione: Integrali per sostituzione – Batteria 1 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 2 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 3 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 4 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 5 (3 esercizi svolti)

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}} \] Ponendo \[ t=\sqrt{x+2} \] ricaviamo x: \[ x=t^{2}-2 \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=2t\rightarrow dx=2tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\int\frac{2tdt}{t^{2}-2-t} \] \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\int\frac{2t}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}dt \] Ricaviamo A e B tali che \[ \frac{2t}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t-2} \] \[ \frac{2t}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}=\frac{\left(A+B\right)t-2A+B}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)} \] \[ […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx \] Ponendo \[ t=e^{x} \] ricaviamo x: \[ x=\ln t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}\rightarrow dx=\frac{1}{t}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{1+t}\cdot\frac{1}{t}dt \] \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{t\left(t+1\right)}dt \] Cerchiamo ora A e B tali che \[ \frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1} \] \[ \frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{\left(A+B\right)t+A}{t\left(t+1\right)} […]