Quesito 6 – Testo e soluzione – Maturità 2009 scientifico PNI

TestoCon l’aiuto di una calcolatrice, si applichi il procedimento iterativo di Newton all’equazione \[ \sin x=0 \] con punto iniziale pari a 3. Cosa si ottiene dopo due iterazioni?Soluzione Il procedimento di Newton consiste nell’applicare la formula seguente per trovare una successione di punti x: \[ x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f’\left(x_{n}\right)} \] partendo dal punto 3 ottengo dopo due […]

Quesito 1 – Testo e soluzione – Maturità 2009 scientifico PNI

Testo Siano 0 < a < b e x appartenente all’intervallo compreso tra b e -b. Si provi che: \[ \int_{-b}^{b}|x-a|\cdot dx=a^{2}+b^{2} \] Soluzione Divido la funzione integranda in questo modo: \[ \left\{ \begin{array}{c} x-a\rightarrow se\; x-a\geq0\\ a-x\rightarrow se\; x-a\leq0 \end{array}\right. \] Così l’integrale si spezza in due contributi: \[ \int_{-b}^{b}|x-a|\cdot dx=\int_{-b}^{a}-\left(x-a\right)dx+\int_{a}^{b}\left(x-a\right)dx= \] \[ =\left[\left(\frac{a^{2}}{2}-a^{2}\right)+\left(\frac{b^{2}}{2}-ab\right)\right]+\left[\left(\frac{b^{2}}{2}-ab\right)+\left(\frac{a^{2}}{2}-a^{2}\right)\right]= […]

Quesito 1 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico

Testo Si trovi la funzione f(x) la cui derivata è sen x e il cui grafico passa per il punto (0,2). Soluzione L’insieme delle funzioni primitive che soddisfa alla condizione \[ f’\left(x\right)=\sin x \] è dato dall’integrale indefinito \[ \int\sin xdx=-\cos x+C \] Per determinare la costante di integrazione C – ossia per individuare la […]

Quesito 9 – Testo e soluzione – Maturità 2009 scientifico PNI

Testo Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze”, Galileo Galilei descrive la costruzione di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio r e il cilindro ad essa circoscritto. La scodella si ottiene togliendo la semisfera dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di Cavalieri , che la scodella ha […]

Quesito 7 – Testo e soluzione – Maturità 2009 scientifico PNI

Testo Si dimostri la seguente: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ k+1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)\frac{n-k}{n+1} \] con n e k numeri naturali e n > k. Soluzione Per definizione di coefficiente binomiale, si ha che il primo termine dell’uguaglianza è: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ k+1 \end{array}\right)=\frac{n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!} \] Il secondo termine invece si può scrivere come: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ […]

Problema 1 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico

Testo Viene assegnato il settore circolare AOB di raggio r e ampiezza x (r e x sono misurati, rispettivamente, in metri e radianti). 1. Si provi che l’area S compresa fra l’arco e la corda AB è espressa, in funzione di x, da \[ S\left(x\right)=\frac{1}{2}r^{2}\left(x-\sin x\right)\; x\epsilon\left[0,2\pi\right] \] 2. Posto r = 1, si studi […]

Quesito 5 – Testo e soluzione – Maturità 2009 scientifico PNI

Testo Si considerino le seguenti espressioni: \[ \frac{0}{1};\frac{0}{0};\frac{1}{0};0^{0} \] A quali di esse si può attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta. Soluzione Posto \[ \alpha=\frac{0}{1} \] la definizione di quoziente implica che debba rappresentare quel numero tale che sia \[ \alpha\cdot1=0\rightarrow\alpha=0 \] e questa uguaglianza è soddisfatta unicamente da 0. La prima scrittura […]