Vedi anche:
→ Tutti gli esercizi di studio di funzione
→ Guida allo studio di funzione
→ Studio di funzioni — Funzioni razionali fratte

 

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Studiare la seguente funzione: [ fleft(xright)=sqrt{x^{2}-left|xright|} ] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:
Se [ xgeq0 ] allora: [ fleft(xright)=sqrt{x^{2}-x} ] Se [ x<0 ] allora: [ fleft(xright)=sqrt{x^{2}+x} ] 1) Dominio: [ left{ begin{array}{c} xgeq0\ x^{2}-xgeq0 end{array}right.cupleft{ begin{array}{c} x<0\ x^{2}+xgeq0 end{array}right. ] [ left{ begin{array}{c} xgeq0\ xleq0:vee: xgeq1 end{array}right.cupleft{ begin{array}{c} x<0\ xleq-1:vee: xgeq0 end{array}right. ] [ left{ 0right} ;cup;left[1;+inftyright);cup;left(-infty;-1right] ] [ D=left(-infty;-1right];cup;left{ 0right} ;cup;left[+1;+inftyright) ] 2) Simmetrie: [ fleft(-xright)=sqrt{left(-xright)^{2}-left|-xright|}=sqrt{x^{2}-left|xright|}=fleft(xright) ] f(x) è pari: per comodità la possiamo studiare solo per x>0. Per x<0 la curva sarà simmetrica rispetto all’asse y.

3) Intersezioni con gli assi: [ left{ begin{array}{c} x=0\ fleft(xright)=0 end{array}right.rightarrowleft(0;0right)in fleft(xright) ] [ left{ begin{array}{c} fleft(xright)=0\ x^{2}-left|xright|=0 end{array}right.rightarrowleft(pm1;0right)in fleft(xright) ] 4) Segno: [ fleft(xright)geq0:forall xin D ] 5) Limiti: [ lim_{xrightarrow+infty}fleft(xright)=+infty ] [ m=lim_{xrightarrow+infty}frac{fleft(xright)}{x}=lim_{xrightarrow+infty}frac{sqrt{x^{2}-x}}{x}=lim_{xrightarrow+infty}frac{xsqrt{1-frac{1}{x}}}{x}=1 ] [ q=lim_{xrightarrow+infty}fleft(xright)-mx=lim_{xrightarrow+infty}sqrt{x^{2}-x}-x ] [ q=lim_{xrightarrow+infty}left(sqrt{x^{2}-x}-xright)cdotfrac{sqrt{x^{2}-x}+x}{sqrt{x^{2}-x}+x} ] [ q=lim_{xrightarrow+infty}frac{x^{2}-x-x^{2}}{xsqrt{1-frac{1}{x}}+x} ] [ q=lim_{xrightarrow+infty}-frac{x}{xleft(sqrt{1-frac{1}{x}}+1right)}=-frac{1}{2} ] quindi: [ y=x-frac{1}{2} ] e, per simmetria [ y=-x-frac{1}{2} ] sono asintoti obliqui.

6) Derivate:
Ricordandoci di studiare la funzione per x positive, più precisamente (visto il dominio) per x>1: [ f’left(xright)=frac{2x-1}{2sqrt{x^{2}-x}} ] Ovviamente in x=0, che è un punto isolato, la derivata non esiste, invece per x>1 avremo: [ f’left(xright)geq0rightarrow2x-1geq0rightarrow xgeqfrac{1}{2} ] quindi f'(x) è sempre positiva per x>1, di conseguenza in questo intervallo f(x) è crescente.
Notiamo che: [ lim_{xrightarrow1^{+}}f’left(xright)=infty ] quindi la tangente in (1;0) sarà x=1, e per simmetria, in (-1;0) sarà x=-1.

Derivata seconda:
Ricordandoci di studiare la funzione per x positive, più precisamente (visto il dominio) per x>1: [ f’left(xright)=frac{2x-1}{2sqrt{x^{2}-x}} ] [ f”left(xright)=left(4sqrt{x^{2}-x}-left(2x-1right)cdot2cdotfrac{2x-1}{2sqrt{x^{2}-x}}right)cdotfrac{1}{4left(x^{2}-xright)} ] [ f”left(xright)=left(4sqrt{x^{2}-x}-frac{4x^{2}-4x+1}{sqrt{x^{2}-x}}right)cdotfrac{1}{4left(x^{2}-xright)} ] [ f”left(xright)=left(frac{4x^{2}-4x-4x^{2}+4x-1}{sqrt{x^{2}-x}}right)cdotfrac{1}{4left(x^{2}-xright)} ] [ f”left(xright)=left(-frac{1}{sqrt{x^{2}-x}}right)cdotfrac{1}{4left(x^{2}-xright)} ] [ f”left(xright)=-frac{1}{4sqrt{left(x^{2}-xright)^{3}}} ] Quindi: [ f”left(xright)<0;forall x>1 ] quindi in questo intervallo la funzione risulta concava.

 

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