Vedi anche:
→ Tutti gli esercizi di studio di funzione
→ Guida allo studio di funzione
→ Studio di funzioni — Funzioni razionali fratte

 

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Studiare la seguente funzione: [ fleft(xright)=sqrt{frac{1-left|xright|}{1+left|xright|}} ] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:
Se [ xgeq0 ] allora: [ fleft(xright)=sqrt{frac{1-x}{1+x}} ] Se [ x<0 ] allora: [ fleft(xright)=sqrt{frac{1+x}{1-x}} ] 1) Dominio: [ frac{1-left|xright|}{1+left|xright|}geq0 ] [ Numgeq0rightarrow1-left|xright|geq0rightarrowleft|xright|leq1rightarrow xinleft[-1;+1right] ] [ Den>0rightarrow1+left|xright|>0rightarrowleft|xright|>-1;forall xinmathbb{R} ] [ D=left[-1;+1right] ] 2) Simmetrie: [ fleft(-xright)=sqrt{frac{1-left|-xright|}{1+left|-xright|}}=sqrt{frac{1-left|xright|}{1+left|xright|}}=fleft(xright) ] f(x) è pari: per comodità la possiamo studiare solo per x>0. Per x<0 la curva sarà simmetrica rispetto all’asse y.

3) Intersezioni con gli assi: [ left{ begin{array}{c} x=0\ fleft(xright)=1 end{array}right.rightarrowleft(0;1right)in fleft(xright) ] [ left{ begin{array}{c} fleft(xright)=0\ 1-left|xright|=0 end{array}right.rightarrowleft{ begin{array}{c} fleft(xright)=0\ left|xright|=1 end{array}right.rightarrowleft{ begin{array}{c} fleft(xright)=0\ x=pm1 end{array}right.rightarrowleft(pm1;0right)in fleft(xright) ] 4) Segno: [ fleft(xright)geq0;forall xin D ] 5) Limiti:
La funzione è continua nell’intervallo chiuso -1;1 , quindi non ci sono limiti da calcolare.

6) Derivate:
Ricordandoci di studiare la funzione solo per x>0: [ f’left(xright)=frac{1}{2}cdotsqrt{frac{1+x}{1-x}}cdotfrac{-left(1+xright)-left(1-xright)}{left(1+xright)^{2}}=frac{1}{2}cdotsqrt{frac{1+x}{1-x}}cdotfrac{-1-x-1+x}{left(1+xright)^{2}} ] [ f’left(xright)=-sqrt{frac{1+x}{1-x}}cdotfrac{1}{left(1+xright)^{2}} ] [ f’left(xright)<0;forall xinleft[0;1right) ] quindi f'(x) è negativa nell’intervallo (0;1), di conseguenza in questo intervallo f(x) è decrescente.
Notiamo che: [ f’left(0right)=-1 ] [ lim_{xrightarrow0^{-}}f’left(xright)=+1 ] [ lim_{xrightarrow0^{-}}f’left(xright)neq f’left(0right) ] quindi (0;1) è un punto angoloso.
Notiamo anche che: [ lim_{xrightarrow1^{-}}f’left(xright)=-infty ] di conseguenza la funzione in (1;0) ha tangente x=1, e per simmetria in (-1;0) ha tangente x=-1.

Derivata seconda:

Ricordandoci di studiare la funzione solo per x>0: [ f’left(xright)=-sqrt{frac{1+x}{1-x}}cdotfrac{1}{left(1+xright)^{2}} ] [ f”left(xright)=-frac{1}{2}cdotsqrt{frac{1-x}{1+x}}cdotfrac{left(1-xright)+left(1+xright)}{left(1-xright)^{2}}cdotfrac{1}{left(1+xright)^{2}}-sqrt{frac{1+x}{1-x}}cdotleft(-frac{2}{left(1+xright)^{3}}right) ] [ f”left(xright)=-sqrt{frac{1-x}{1+x}}cdotfrac{1}{left(1-xright)^{2}left(1+xright)^{2}}+sqrt{frac{1+x}{1-x}}cdotfrac{2}{left(1+xright)^{3}} ] [ f”left(xright)=frac{1}{left(1+xright)^{2}}cdotsqrt{frac{1+x}{1-x}}cdotleft(frac{2}{1+x}-frac{1}{left(1-xright)^{2}}cdotfrac{1-x}{1+x}right) ] [ f”left(xright)=frac{1}{left(1+xright)^{2}}cdotsqrt{frac{1+x}{1-x}}cdotfrac{2left(1+x^{2}-2xright)-1+x}{left(1+xright)left(1-xright)^{2}} ] [ f”left(xright)=frac{1}{left(1+xright)^{2}}cdotsqrt{frac{1+x}{1-x}}cdotfrac{2x^{2}-3x+1}{left(1+xright)left(1-xright)^{2}} ] facendo i conti, sempre per x positive appartenenti al dominio: [ f”left(xright)geq0rightarrow2x^{2}-3x+1geq0 ] [ f”left(xright)geq0rightarrow xinleft(0;+frac{1}{2}right] ] quindi tra 0 e 1/2 la funzione risulta convessa, tra 1/2 e 1 risulta concava. Per x=1/2 la derivata seconda si annulla, quindi avremo un punto di flesso F. Per simmetria avremo un punto di flesso anche in -1/2: [ F_{1}left(-frac{1}{2};+frac{sqrt{3}}{3}right) ] [ F_{2}left(+frac{1}{2};+frac{sqrt{3}}{3}right) ]

 

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