Testo Nel piano riferito ad un sistema Oxy di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di equazioni: \[ p1:\; y^{2}=2x \] \[ p2:\; x^{2}=y \] 1. Si disegnino le due parabole e se ne determinino le coordinate dei fuochi e le equazioni delle rispettive rette direttrici. Si denoti con A il punto di intersezione delle […]
Testo Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da: \[ f(x)=x^{3}-4x\:,\: g(x)=senx \] 1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G(f)e G(g). 2. Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di G(f) con la […]
Testo Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da: \[ f(x)=(ax+b)e^{\frac{-x}{3}}+3 \] dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo nel punto di ascissa 4 e che \[ f(0)=2 \] 1. Si provi che a=1 e b=-1 2. Si studi su R […]
Testo Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio? Soluzione Indico con x la distanza da una delle basi del cilindro dal centro della sfera. L’altezza del cilindro è h=2x, con 2x compreso tra 0 e […]
Testo Si trovi il punto della curva \[ y=\sqrt{x} \] più vicino al punto di coordinate (4; 0). Soluzione La curva di equazione \[ y=\sqrt{x} \] con \[ x\geq0 \] è un arco di parabola con asse coincidente con l’asse x, così come si vede qui sotto: \[ \begin{cases} \begin{array}{c} x=y^{2}\\ x\geq0\\ y\geq0 \end{array}\end{cases} \] […]
Testo Sia R la regione delimitata dalla curva \[ y=x^{3} \] dall’asse x e dalla retta x=2 e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all’asse y. Si calcoli il volume di W. Soluzione L’equazione \[ y=x^{3} \] è l’equazione della parabola cubica, il cui grafico è: Il volume richiesto W è […]
Testo Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3. Si trovi n. Soluzione Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è dato dal coefficiente binomiale \[ C_{n,4}=\left(\begin{array}{c} n\\ 4 \end{array}\right)=\frac{n!}{4!\cdot(n-4)!} \] (e in maniera analoga […]
Testo Si calcoli \[ \lim_{x\rightarrow a}\frac{\tan x-\tan a}{x-a} \] Soluzione Per risolvere il limite uso il metodo di De L’Hopital visto che il limite ha una forma di indeterminazione del tipo \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] e il limite del rapporto delle derivate delle funzioni a numeratore e denominatore esiste ed è \[ \lim_{x\rightarrow a}\frac{D\left(\tan x-\tan a\right)}{D\left(x-a\right)}=\lim_{x\rightarrow […]
Testo Si trovi l’area della regione delimitata dalla curva \[ y=cosx \] e dall’asse x da x=1 a x=2 radianti. Soluzione L’area desiderata (area colorata in figura, composta da due contributi diversi, uno sotto e uno sopra l’asse delle ascisse) è: \[ A=\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\cos\left(x\right)dx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{2}\cos\left(x\right)dx \] \[ A=|\sin\left(x\right)|_{1}^{\frac{\pi}{2}}-|\sin\left(x\right)|_{\frac{\pi}{2}}^{2} \] \[ A=1-\sin\left(1\right)-\sin\left(2\right)+1\approx0,25 \]