Regole di integrazione – Formulario

Integrale di una funzione per una costante: \[ \int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx \] Integrale di una somma algebrica di funzioni: \[ \int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx \] Integrazione per sostituzione: \[ \int f\left(x\right)dx=\int f\left[g\left(t\right)\right]g’\left(t\right)dt \] Integrazione per parti: \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] Integrale del prodotto di una funzione composta per la derivata della sua funzione interna: […]

Integrali di funzioni razionali fratte

Esercizi svolti sul calcolo degli integrali indefiniti di funzioni razionali fratte: Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 1 (3 esercizi svolti) Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 2 (3 esercizi svolti) Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 3 (3 esercizi svolti) Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 4 (3 esercizi svolti) […]

Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 4

Calcolare i seguenti integrali: Esercizio 1 \[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado 1 al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] Per prima cosa ricaviamo al numeratore la derivata del denominatore: \[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}-2x+3}dx \] \[ […]

Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 3

Calcolare i seguenti integrali: Esercizio 1 \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] e possiamo quindi scrivere la funzione integranda sottoforma di derivata di un arcotangente: \[ […]

Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 2

Calcolare i seguenti integrali: Esercizio 1 \[ \int\frac{dx}{x^{2}+8x+16} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle=0 \] infatti si scompone facilmente in \[ x^{2}+8x+16=\left(x+4\right)^{2} \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, […]

Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 1

Calcolare i seguenti integrali: Esercizio 1 \[ \int\frac{dx}{9x^{2}-25} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha delta maggiore di zero, infatti si scompone facilmente in \[ 9x^{2}-25=\left(3x-5\right)\left(3x+5\right) \] Determiniamo ora due coefficienti A […]

Funzioni elementari e loro domini – Formulario

Di seguito una raccolta delle principali funzioni analitiche. Indichiamo per ogni funzione: la forma analitica, il dominio D (campo di esistenza), il codominio C, il dominio D’ della derivata (intervallo di derivazione), e il grafico su piano cartesiano. Funzione costante \[ f\left(x\right)=k \] \[ D=\mathbb{R} \] \[ C=\left\{ k\right\} \] \[ D’=\mathbb{R} \] Funzione di […]

Massimi e minimi – Problema 14

Sono dati una circonferenza di raggio r e centro O, una corda variabile AB e il diametro CD a essa perpendicolare in H. Calcolare il massimo di AB(CH-HD) con CH>HD. Soluzione Chiamiamo: \[ \overline{OD}=\overline{CO}=r \] \[ \overline{OH}=x \] Scriviamo AB, CH e HD in funzione di x: \[ \overline{AB}=2\overline{AH}=2\sqrt{r^{2}-x^{2}} \] \[ \overline{CH}=\overline{CO}+\overline{OH}=r+x \] \[ \overline{HD}=\overline{OD}-\overline{OH}=r-x […]

Massimi e minimi – Problema 13

E’ data una semicirconferenza di diametro AB=2r: si determini su essa un punto C tale che, condotta la perpendicolare CD ad AB, risulti massima la somma CD+DB. Soluzione Chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ C\hat{O}D=x \] Scriviamo CD e DB in funzione di x: \[ \overline{CD}=\overline{CO}\sin x=r\sin x \] \[ \overline{DB}=\overline{OB}+\overline{OD}=r+r\cos x \] \[ \overline{DB}=r\left(1+\cos x\right) […]

Massimi e minimi – Problema 24

Nel piano cartesiano è data la circonferenza passante per l’origine e di centro A(1;0); sia P un punto della semicirconferenza situata nel primo quadrante e sia Q il punto in cui la parallela per P all’asse x incontra la semicirconferenza. Determinare il punto P in modo che il trapezio non intrecciato OAPQ abbia area massima. […]