Integrali per parti – Batteria 4

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per parti: Esercizio 1 \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx \] L’integrale dato può essere scritto come \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\int1\cdot\sqrt{1-x^{2}}dx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-x^{2}} \] \[ g’\left(x\right)=1 \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \] \[ g\left(x\right)=x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e […]

Integrali per parti – Batteria 3

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per parti: Esercizio 1 \[ \int\sin\ln xdx \] L’integrale dato può essere scritto come \[ \int\sin\ln xdx=\int1\cdot\sin\ln xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\sin\ln x \] \[ g’\left(x\right)=1 \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=\cos\ln x\cdot\frac{1}{x} \] \[ g\left(x\right)=x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ […]

Integrali per sostituzione – Batteria 1

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int e^{3x-1}dx \] Ponendo \[ t=3x-1 \] ricaviamo x: \[ x=\frac{1+t}{3} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}\rightarrow dx=\frac{1}{3}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int e^{3x-1}dx=\int e^{t}\cdot\frac{1}{3}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}\int e^{t}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}e^{t}+C \] Risulta quindi: \[ \int […]

Massimi e minimi: circonferenza

Problemi svolti di massimo e minimo sulla circonferenza: Massimi e minimi – Problema 13 Massimi e minimi – Problema 14 Massimi e minimi – Problema 15 Massimi e minimi – Problema 16 Massimi e minimi – Problema 17 Massimi e minimi – Problema 18

Massimi e minimi – Problema 20

Determinare il punto della parabola \[ 4y+x^{2}=10x-5 \] per il quale è massima la somma delle sue coordinate. Soluzione Scrivendo l’equazione della parabola in forma esplicita otteniamo: \[ y=\frac{1}{4}\left(-x^{2}+10x-5\right) \] Il punto generico P della parabola ha coordinate: \[ P\left(x;\frac{1}{4}\left(-x^{2}+10x-5\right)\right) \] La somma delle coordinate di P è la nostra funzione di x: \[ f=x_{P}+y_{P} […]

Massimi e minimi – Problema 22

Data la retta di equazione \[ \frac{x}{m}+\frac{y}{m-1}=1 \] determinare m in modo che l’area del quadrato avente per lato il segmento intercettato sulla retta dagli assi sia minima. Soluzione Chiamiamo A e B le intersezioni della retta con gli assi cartesiani, e determiniamone le coordinate in funzione di m: \[ x=0\rightarrow y=m-1\rightarrow A\left(0;m-1\right) \] \[ […]

Massimi e minimi – Problema 23

Determinare un punto P della parabola \[ x^{2}-4y=0 \] per il quale risulta minimo il rapporto \[ \frac{\overline{PO}}{\overline{PF}} \] essendo O il vertice della parabola, e F il fuoco. Soluzione Scriviamo la parabola data in forma esplicita: \[ y=\frac{1}{4}x^{2} \] Il vertice ha coordinate \[ O\left(0;0\right) \] Il fuoco ha stessa x del vertice e […]

Massimi e minimi: Geometria analitica

Problemi risolti di massimo e minimo di geometria analitica: Massimi e minimi – Problema 19 Massimi e minimi – Problema 20 Massimi e minimi – Problema 21 Massimi e minimi – Problema 22 Massimi e minimi – Problema 23 Massimi e minimi – Problema 24

Limiti notevoli – Formulario

Principali limiti notevoli e ricorrenti: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{k}{x}=\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{k}{x}=0 \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}x^{n}=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}x^{n}=+\infty\;,\; n\; pari \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}x^{n}=-\infty\;,\; n\; dispari \] Se a è compreso tra 0 e 1: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}a^{x}=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}a^{x}=0 \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}\log_{a}x=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\log_{a}x=-\infty \] Se a è maggiore di 1: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}a^{x}=0 \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}a^{x}=+\infty […]

Guida allo studio di funzione

L’obiettivo finale di uno studio di funzione è quello di riuscire a rappresentare, con la migliore approssimazione possibile, il grafico della funzione data \[ y=f\left(x\right) \] sul piano cartesiano. Illustriamo di seguito i passi da seguire per lo studio di funzione, ricordando che questo tutorial precede i 100 studio di funzione completamente svolti presenti sul […]