Testo Dei numeri 1, 2, 3, . . . 6000, quanti non sono divisibili nè per 2, nè 3 nè per 5? Soluzione Poichè il minimo comune multiplo di 2, 3 e 5 è \(m.c.m. = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\) contiamo quanti numeri x tra 1 e 30 non sono divisibili nè […]

Testo Un’ azienda commercializza il suo prodotto in lattine da 5 litri a forma di parallelepipedo a base quadrata. Le lattine hanno dimensioni tali da richiedere la minima quantità di latta per realizzarle. Quali sono le dimensioni, arrotondate ai mm, di una lattina? Soluzione Poniamo \(V_0 = 5\) L e sia x il lato della […]

Testo Il valor medio della funzione \(f(x) = x^3\) sullintervallo chiuso \([0, k]\) è 9. Si determini \textit{k}. Soluzione Il valor medio \(\overline{f}\) di una funzione f continua in un intervallo [a, b] è rappresentato dall’ integrale definito \[ \overline{f} = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x) \ \mbox{d}x. \] L’ intervallo dato dal testo presuppone implicitamente che sia k […]

Testo Si determinino i valori reali di x per cui: \[ \left(\frac{1}{5}(x^2-10x+26)\right)^{x^2-6x+1}=1 \] Soluzione Le soluzioni dell’ equazione esponenziale si deducono tenendo innanzitutto presente la condizione che garantisce significato alla scrittura \[ [f(x)]^{g(x)} \] dove deve essere \(f(x) > 0\),quindi \(x^2-10x+26 > 0\). Poichè il discriminante dell’ equazione associata è \(\frac{\Delta}{4}=25-26 < 0\), ne segue […]

Testo Nella figura a lato è disegnato il grafico \(\Gamma\) di \(g(x) = \int_{0}^{x}f(t)\,dt\) con f funzione definita sull’ intervallo \([0, w]\) e ivi continua e derivabile. \(\Gamma\) è tangente all’ asse x nell’origine O del sistema di riferimento e presenta un flesso e un massimo rispettivamente per x=h e x=k. 1) Si determinino f(0) […]

Quesito8 Si mostri, senza utilizzare il teorema di l’Hopital, che: \[ \lim_{x\to \pi} \frac{e^{\sin x} – e^{\sin \pi} }{x – \pi}= -1 \] Soluzione Risolviamo il limite ponendo la sostituzione \( y=x−\pi \) , e ricordando che \( e^{\sin \pi} = e^0 =1 \), si ottiene: \[ \lim_{x\to \pi}\frac{e^{\sin x} – e^{\sin \pi} }{x – […]

Quesito7 In un gruppo di \( 10 \) persone il 60% ha occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due persone. Quale è la probabilità che nessuna di esse abbia occhi azzurri ? Soluzione La probabilità di scegliere casualmente due persone che non abbiano gli occhi azzurri può essere espressa come composizione di \( […]

Quesito9 Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i […]

Testo Sia \(f\) la funzione definita per tutti gli x positivi da \(f(x) = x^3 \ln{x}\). Si studi \(f\) e si tracci il suo grafico \(\gamma\) su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali e monometrici \(Oxy\); accertato che \(\gamma\) presenta sia un punto di flesso che un punto di minimo se […]