Determinare la misura dell’area della parte di piano delimitata dall’asse delle y e dalla parabola di equazione \[ x=y^{2}-4 \] Soluzione La parabola ad asse orizzontale interseca l’asse y nei punti \[ \left\{ \begin{array}{c} y_{1}=-2\\ y_{2}=+2 \end{array}\right. \] La funzione data ha come variabile indipendente la y. Di conseguenza per determinare l’area richiesta basterà calcolare […]

Determinare la misura dell’area della parte di piano limitata dall’asse delle ascisse, dal grafico della funzione \[ y=\ln x \] e dalle rette x=1 e x=e Soluzione La funzione logaritmo nell’intervallo dato è positiva. Di conseguenza per determinare l’area richiesta basterà calcolare l’integrale definito della funzione data, con estremi di integrazione \[ \left\{ \begin{array}{c} a=1\\ […]

Determinare la misura dell’area del trapezoide delimitato dalla curva di equazione \[ y=e^{2x} \] nell’intervallo \[ I=\left[\frac{1}{2};3\right] \] Soluzione Per determinare l’area basterà calcolare l’integrale definito della funzione data, con estremi di integrazione \[ \left\{ \begin{array}{c} a=\frac{1}{2}\\ b=3 \end{array}\right. \] Risulta quindi \[ \int_{\frac{1}{2}}^{3}e^{2x}dx=\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_{\frac{1}{2}}^{3} \] \[ \int_{\frac{1}{2}}^{3}e^{2x}dx=\frac{e^{6}}{2}-\frac{e}{2} \] \[ \int_{\frac{1}{2}}^{3}e^{2x}dx=\frac{e}{2}\left(e^{5}-1\right) \] Otteniamo l’area: \[ A=\frac{e}{2}\left(e^{5}-1\right) […]

Determinare la misura dell’area della parte di piano delimitata dalla curva di equazione \[ y=-x^{2}+4x-3 \] e dall’asse delle x. Soluzione La funzione data è una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y, rivolta verso il basso. Calcoliamo le sue intersezioni con l’asse x: \[ \left\{ \begin{array}{c} y=0\\ y=-x^{2}+4x-3 \end{array}\right. \] \[ -x^{2}+4x-3=0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} […]

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{0}^{1}\arcsin xdx \] Soluzione Calcoliamo per parti l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\arcsin xdx \] \[ f\left(x\right)=\arcsin x\rightarrow f’\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \] \[ g’\left(x\right)=1\rightarrow g\left(x\right)=x \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x+\frac{1}{2}\int-2x\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}dx \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ […]

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}dx \] \[ \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+2} \] \[ \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=\frac{\left(A+B\right)x+2A+3B}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)} \] \[ \left\{ \begin{array}{c} A+B=0\\ 2A+3B=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} A=-1\\ B=+1 \end{array}\right. \] \[ F\left(x\right)=-\int\frac{1}{x+3}dx+\int\frac{1}{x+2}dx \] \[ F\left(x\right)=\ln\left|\frac{x+2}{x+3}\right|+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero […]

Esercizi svolti sul calcolo degli integrali indefiniti con il metodo di integrazione per sostituzione: Integrali per sostituzione – Batteria 1 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 2 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 3 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 4 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 5 (3 esercizi svolti)

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx \] Ponendo \[ t=e^{x} \] ricaviamo x: \[ x=\ln t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}\rightarrow dx=\frac{1}{t}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{1+t}\cdot\frac{1}{t}dt \] \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{t\left(t+1\right)}dt \] Cerchiamo ora A e B tali che \[ \frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1} \] \[ \frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{\left(A+B\right)t+A}{t\left(t+1\right)} […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx \] Ponendo \[ t=\sqrt{x} \] ricaviamo x: \[ x=t^{2} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=2t\rightarrow dx=2tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=\int\frac{2t}{t+t^{3}}dt \] \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=2\int\frac{t}{t\left(1+t^{2}\right)}dt \] \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=2\int\frac{1}{1+t^{2}}dt \] \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=2\arctan t+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=2\arctan\sqrt{x}+C \] Esercizio […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int e^{3x-1}dx \] Ponendo \[ t=3x-1 \] ricaviamo x: \[ x=\frac{1+t}{3} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}\rightarrow dx=\frac{1}{3}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int e^{3x-1}dx=\int e^{t}\cdot\frac{1}{3}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}\int e^{t}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}e^{t}+C \] Risulta quindi: \[ \int […]