Esercizi svolti sul calcolo degli integrali definiti: Calcolo di integrali definiti – Batteria 1 (3 esercizi svolti)Calcolo di integrali definiti – Batteria 2 (3 esercizi svolti)Calcolo di integrali definiti – Batteria 3 (3 esercizi svolti)Calcolo di integrali definiti – Batteria 4 (3 esercizi svolti)Calcolo di integrali definiti – Batteria 5 (3 esercizi svolti)

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{\cos^{2}x}dx+\int\frac{1}{\sin^{2}x}dx \] \[ F\left(x\right)=\tan x-co\tan x+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=F\left(\frac{\pi}{3}\right)-F\left(\frac{\pi}{6}\right) \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\left(\tan\frac{\pi}{3}-co\tan\frac{\pi}{3}+C\right)-\left(\tan\frac{\pi}{6}-co\tan\frac{\pi}{6}+C\right) \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3} \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3} \] Quindi otteniamo: \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\frac{4\sqrt{3}}{3} \] Esercizio […]

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\frac{x-1}{x^{2}}dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{x}{x^{2}}dx-\int\frac{1}{x^{2}}dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{x}dx-\int x^{-2}dx \] \[ F\left(x\right)=\ln x+\frac{1}{x}+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=F\left(e\right)-F\left(1\right) \] \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=\left(\ln e+\frac{1}{e}+C\right)-\left(\ln1+1+C\right) \] \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=1+\frac{1}{e}+C-0-1-C=\frac{1}{e} \] Quindi otteniamo: \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=\frac{1}{e} \] […]

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}dx \] \[ \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+2} \] \[ \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=\frac{\left(A+B\right)x+2A+3B}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)} \] \[ \left\{ \begin{array}{c} A+B=0\\ 2A+3B=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} A=-1\\ B=+1 \end{array}\right. \] \[ F\left(x\right)=-\int\frac{1}{x+3}dx+\int\frac{1}{x+2}dx \] \[ F\left(x\right)=\ln\left|\frac{x+2}{x+3}\right|+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero […]

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{0}^{1}\arcsin xdx \] Soluzione Calcoliamo per parti l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\arcsin xdx \] \[ f\left(x\right)=\arcsin x\rightarrow f’\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \] \[ g’\left(x\right)=1\rightarrow g\left(x\right)=x \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x+\frac{1}{2}\int-2x\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}dx \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ […]

Determinare la misura dell’area della parte di piano delimitata dall’asse delle y e dalla parabola di equazione \[ x=y^{2}-4 \] Soluzione La parabola ad asse orizzontale interseca l’asse y nei punti \[ \left\{ \begin{array}{c} y_{1}=-2\\ y_{2}=+2 \end{array}\right. \] La funzione data ha come variabile indipendente la y. Di conseguenza per determinare l’area richiesta basterà calcolare […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx \] Ponendo \[ t=e^{x} \] ricaviamo x: \[ x=\ln t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}\rightarrow dx=\frac{1}{t}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{1+t}\cdot\frac{1}{t}dt \] \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{t\left(t+1\right)}dt \] Cerchiamo ora A e B tali che \[ \frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1} \] \[ \frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{\left(A+B\right)t+A}{t\left(t+1\right)} […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int e^{3x-1}dx \] Ponendo \[ t=3x-1 \] ricaviamo x: \[ x=\frac{1+t}{3} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}\rightarrow dx=\frac{1}{3}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int e^{3x-1}dx=\int e^{t}\cdot\frac{1}{3}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}\int e^{t}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}e^{t}+C \] Risulta quindi: \[ \int […]

Esercizi svolti sul calcolo degli integrali indefiniti con il metodo di integrazione per sostituzione: Integrali per sostituzione – Batteria 1 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 2 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 3 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 4 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 5 (3 esercizi svolti)

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per parti: Esercizio 1 \[ \int x^{2}\sin xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=x^{2} \] \[ g’\left(x\right)=\sin x \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=2x \] \[ g\left(x\right)=-\cos x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int x^{2}\sin xdx=-x^{2}\cos […]