Determinare la misura dell’area della parte di piano delimitata dalla curva di equazione \[ y=-x^{2}+4x-3 \] e dall’asse delle x. Soluzione La funzione data è una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y, rivolta verso il basso. Calcoliamo le sue intersezioni con l’asse x: \[ \left\{ \begin{array}{c} y=0\\ y=-x^{2}+4x-3 \end{array}\right. \] \[ -x^{2}+4x-3=0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} […]

Determinare la misura dell’area della parte di piano delimitata dall’asse delle ascisse e dalla curva \[ y=\sin x \] nell’intervallo \[ I=\left[0;\pi\right] \] Soluzione La funzione seno nell’intervallo dato è positiva, e agli estremi di tale intervallo interseca l’asse x. Per determinare l’area richiesta basterà quindi calcolare l’integrale definito della funzione data, con estremi di […]

Determinare la misura dell’area del trapezoide delimitato dalla curva di equazione \[ y=e^{2x} \] nell’intervallo \[ I=\left[\frac{1}{2};3\right] \] Soluzione Per determinare l’area basterà calcolare l’integrale definito della funzione data, con estremi di integrazione \[ \left\{ \begin{array}{c} a=\frac{1}{2}\\ b=3 \end{array}\right. \] Risulta quindi \[ \int_{\frac{1}{2}}^{3}e^{2x}dx=\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_{\frac{1}{2}}^{3} \] \[ \int_{\frac{1}{2}}^{3}e^{2x}dx=\frac{e^{6}}{2}-\frac{e}{2} \] \[ \int_{\frac{1}{2}}^{3}e^{2x}dx=\frac{e}{2}\left(e^{5}-1\right) \] Otteniamo l’area: \[ A=\frac{e}{2}\left(e^{5}-1\right) […]

Determinare le coordinate dei punti comuni alle due curve aventi le equazioni \[ 3x+2y-6=0\;;\; y=\frac{3}{x} \] e calcolare la misura dell’area della parte di piano limitata dagli archi delle due curve considerate, aventi per estremi i punti prima determinati. Soluzione Le due funzioni hanno equazione \[ f\left(x\right)=-\frac{3}{2}x+3\;;\; g\left(x\right)=\frac{3}{x} \] Determiniamo i punti di intersezione delle […]

Determinare la misura dell’area della parte di piano limitata dall’asse delle ascisse, dal grafico della funzione \[ y=\ln x \] e dalle rette x=1 e x=e Soluzione La funzione logaritmo nell’intervallo dato è positiva. Di conseguenza per determinare l’area richiesta basterà calcolare l’integrale definito della funzione data, con estremi di integrazione \[ \left\{ \begin{array}{c} a=1\\ […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int e^{-2x}\sin xdx \] Soluzione Questo integrale si può risolvere attuando per due volte il metodo di integrazione per parti: \[ \int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}\cos xdx \] \[ \int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}-\frac{e^{-2x}\cos x}{4}-\frac{1}{4}\int e^{-2x}\sin xdx \] \[ \frac{5}{4}\int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}-\frac{e^{-2x}\cos x}{4} \] […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx \] Soluzione Visto che -seno è la derivata del coseno, si può ricondurlo ad un integrale immediato: \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=\int\sin x\left(\cos x\right)^{-4}dx \] \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=-\int-\sin x\left(\cos x\right)^{-4}dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=-\left(-\frac{1}{3}\cos^{-3}x\right)+C \] \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=\frac{1}{3\cos^{3}x}+C \] Esercizio 2 \[ […]

Esercizi svolti sul calcolo degli integrali indefiniti con l’utilizzo di metodi di vario tipo: integrali immediati, integrali di funzioni razionali fratte, integrali per parti e per sostituzione. Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 1 (3 esercizi svolti) Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 2 (3 esercizi svolti) Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 3 (3 […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int\tan^{4}xdx \] Ponendo \[ t=\tan x \] ricaviamo x: \[ x=\arctan t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^{2}}\rightarrow dx=\frac{1}{1+t^{2}}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\tan^{4}xdx=\int\frac{t^{4}}{1+t^{2}}dt \] Dividiamo \[ t^{4}:\left(t^{2}+1\right) \] ottenendo quoziente \[ Q\left(x\right)=t^{2}-1 \] e resto \[ R\left(x\right)=1 \] […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per parti: Esercizio 1 \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx \] L’integrale dato può essere scritto come \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\int1\cdot\sqrt{1-x^{2}}dx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-x^{2}} \] \[ g’\left(x\right)=1 \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \] \[ g\left(x\right)=x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e […]