Esercizi svolti sul calcolo degli integrali indefiniti di funzioni razionali fratte: Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 1 (3 esercizi svolti) Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 2 (3 esercizi svolti) Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 3 (3 esercizi svolti) Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 4 (3 esercizi svolti) […]
Tra tutti triangoli rettangoli aventi costante la somma dei cateti, qual è quello di minima ipotenusa? Soluzione Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa. Per il teorema di Pitagora l’ipotenusa vale \[ i=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo scrivere a in funzione di b e s, grazie […]
Tra tutti triangoli rettangoli aventi la medesima ipotenusa di misura i, qual è quello per cui è massima la somma dei cateti? Soluzione Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa. Poniamo \[ s=a+b \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo scrivere a in funzione di b e i, grazie […]
Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni in un generico punto x del rispettivo dominio. Confrontare il dominio D della funzione data con il dominio D’ della sua funzione derivata. Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2} \] Il dominio della funzione data è \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 2\right\} \] Calcoliamo il rapporto incrementale relativamente al […]
Tra tutti triangoli rettangoli aventi la medesima ipotenusa di misura i, qual è quello per cui è massima la somma dell’altezza relativa all’ipotenusa e di un cateto? Soluzione Chiamiamo h l’altezza relativa all’ipotenusa. Chiamiamo a e b i cateti. Poniamo \[ s=h+b \] Questa funzione ha due variabili (h e b), ma possiamo scrivere h […]
Inscrivere in un triangolo, di base b e altezza h, il rettangolo avente la base su b e di area massima. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{HF}=\overline{KE}=x \] \[ \overline{KH}=\overline{EF}=y \] \[ \overline{HB}=b \] \[ \overline{AH}=h \] Consideriamo il rettangolo GFED. La sua area vale \[ A_{2}=xy \] Scriviamo y in funzione […]
Tra tutti i triangoli con la stessa ipotenusa, trovare quello di area massima. Soluzione Chiamiamo i l’ipotenusa, ricordandoci che è una costante. Chiamiamo a e b i cateti. L’area vale: \[ A=\frac{ab}{2} \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo esprimere l’una in funzione dell’altra ( e dell’ipotenusa) grazie al teorema di […]
Determinare il massimo dell’area di un trapezio isoscele, dati la base minore b e il lato obliquo c. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{DC}=b \] \[ \overline{BC}=\overline{AD}=c \] \[ \overline{HB}=x \] Risulta \[ \overline{AB}=b+2x \] \[ \overline{CH}=\sqrt{c^{2}-x^{2}} \] L’area del trapezio vale \[ A=\frac{\left(\overline{AB}+\overline{DC}\right)\cdot\overline{CH}}{2} \] Viste le considerazioni sopra, possiamo scrivere questa […]
Calcolare la derivata terza delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{\frac{5}{3}} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{10}{9}x^{-\frac{1}{3}} \] E infine deriviamo per la terza volta: \[ f”’\left(x\right)=\frac{10}{9}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{4}{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=-\frac{10}{27}x^{-\frac{4}{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=-\frac{10}{27\sqrt[3]{x^{4}}} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\ln\sin x \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{\cos x}{\sin x} \] Derivando ulteriormente: \[ […]
Inscrivere in un dato semicerchio il quadrilatero di superficie massima con un lato parallelo al diametro. Soluzione Rappresentiamo un semicerchio, e notiamo che il quadrilatero inscritto richiesto risulta un trapezio isoscele: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{OC}=\overline{OB}=r\rightarrow\overline{AB}=2r \] \[ \overline{OM}=\overline{CH}=h \] \[ \overline{DC}=b\rightarrow\overline{MC}=\overline{OH}=\frac{b}{2} \] La superficie del trapezio è \[ A=\frac{\left(\overline{AB}+\overline{DC}\right)\cdot\overline{CH}}{2} \] \[ A=\frac{h\left(2r+b\right)}{2} \] […]