Esercizi svolti sul calcolo degli integrali indefiniti di funzioni razionali fratte: Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 1 (3 esercizi svolti) Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 2 (3 esercizi svolti) Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 3 (3 esercizi svolti) Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 4 (3 esercizi svolti) […]

Ricordando i limiti notevoli, calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x} \] Sfruttando una proprietà delle potenze, il limite si può scrivere così: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{2} \] Ricordando il limite notevole \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e \] avremo \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{2}=e^{2} \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow0}\left(1+2x\right)^{\frac{1}{x}} \] operiamo la sostituzione \[ z=\frac{1}{2x}\rightarrow x=\frac{1}{2z} \] Osserviamo che \[ \lim_{x\rightarrow0}z=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2x}=\infty \] […]

Calcolare la derivata seconda delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\sqrt{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\left(0-2\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\frac{1}{\left(2\sqrt{x}\right)^{2}} \] \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{4x} \] \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\frac{x^{3}}{x+1} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{2}\left(x+1\right)-x^{3}}{\left(x+1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{3}+3x^{2}-x^{3}}{\left(x+1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2x^{3}+3x^{2}}{\left(x+1\right)^{2}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(6x^{2}+6x\right)\left(x+1\right)^{2}-\left(2x^{3}+3x^{2}\right)\cdot2\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)\left[\left(6x^{2}+6x\right)\left(x+1\right)-\left(4x^{3}+6x^{2}\right)\right]}{\left(x+1\right)^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{6x^{3}+6x^{2}+6x^{2}+6x-4x^{3}-6x^{2}}{\left(x+1\right)^{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{2x^{3}+6x^{2}+6x}{\left(x+1\right)^{3}} […]

Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni in un generico punto x del rispettivo dominio. Confrontare il dominio D della funzione data con il dominio D’ della sua funzione derivata. Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2} \] Il dominio della funzione data è \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 2\right\} \] Calcoliamo il rapporto incrementale relativamente al […]

Ricordando i limiti notevoli, calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x} \] Questo limite si presenta nella forma \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Operiamo la sostituzione \[ t=\frac{x}{2}\rightarrow x=2t \] osserviamo che \[ \lim_{x\rightarrow0}t=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{2}=0 \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}=\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{2t}=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t} \] Ricordando il limite notevole \[ \lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t}=1 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t}=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2} \] Esercizio 2 […]

Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\left\{ \left[\frac{1}{2\sqrt{2-x^{2}}}\cdot\left(-2x\right)\right]\cdot x-\sqrt{2-x^{2}}\cdot1\right\} \cdot\frac{1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\left(-\frac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}-\sqrt{2-x^{2}}\right)\cdot\frac{1}{x^{2}} \] […]

Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni nel punto indicato a fianco di ciascuna di esse: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}-5}\;,\; x_{0}=3 \] Calcoliamo il rapporto incrementale relativamente al punto x=3 e a un generico incremento h: \[ \frac{\Delta y}{\triangle x}=\frac{f\left(3+h\right)-f\left(3\right)}{h} \] Abbiamo che \[ f\left(3\right)=\sqrt{4}=2 \] \[ f\left(3+h\right)=\sqrt{\left(3+h\right)^{2}-5}=\sqrt{h^{2}+6h+4} \] Quindi \[ […]

Problemi svolti, raggruppati per argomento, relativi al calcolo dei massimi e dei minimi in un intervallo chiuso e limitato (dettato dalle limitazioni geometriche dell’esercizio): Problemi di massimo e minimo – Triangoli (6 problemi svolti) Problemi di massimo e minimo – Quadrilateri (6 problemi svolti) Problemi di massimo e minimo – Circonferenza (6 problemi svolti) Problemi […]

Problemi svolti di massimo e minimo sui quadrilateri: Massimi e minimi – Problema 7 Massimi e minimi – Problema 8 Massimi e minimi – Problema 9 Massimi e minimi – Problema 10 Massimi e minimi – Problema 11 Massimi e minimi – Problema 12

Calcolare la derivata terza delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{\frac{5}{3}} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{10}{9}x^{-\frac{1}{3}} \] E infine deriviamo per la terza volta: \[ f”’\left(x\right)=\frac{10}{9}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{4}{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=-\frac{10}{27}x^{-\frac{4}{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=-\frac{10}{27\sqrt[3]{x^{4}}} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\ln\sin x \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{\cos x}{\sin x} \] Derivando ulteriormente: \[ […]