Calcolare la derivata seconda delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\sqrt{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\left(0-2\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\frac{1}{\left(2\sqrt{x}\right)^{2}} \] \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{4x} \] \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\frac{x^{3}}{x+1} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{2}\left(x+1\right)-x^{3}}{\left(x+1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{3}+3x^{2}-x^{3}}{\left(x+1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2x^{3}+3x^{2}}{\left(x+1\right)^{2}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(6x^{2}+6x\right)\left(x+1\right)^{2}-\left(2x^{3}+3x^{2}\right)\cdot2\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)\left[\left(6x^{2}+6x\right)\left(x+1\right)-\left(4x^{3}+6x^{2}\right)\right]}{\left(x+1\right)^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{6x^{3}+6x^{2}+6x^{2}+6x-4x^{3}-6x^{2}}{\left(x+1\right)^{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{2x^{3}+6x^{2}+6x}{\left(x+1\right)^{3}} […]

Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\left\{ \left[\frac{1}{2\sqrt{2-x^{2}}}\cdot\left(-2x\right)\right]\cdot x-\sqrt{2-x^{2}}\cdot1\right\} \cdot\frac{1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\left(-\frac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}-\sqrt{2-x^{2}}\right)\cdot\frac{1}{x^{2}} \] […]

Scrivere l’ equazione della tangente al grafico di ciascuna delle seguenti curve nei punti la cui ascissa è indicata a fianco: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{x+2}{x}\;,\; x_{0}=-1 \] Soluzione Il dominio della funzione data è \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] Calcoliamo la derivata f'(x): \[ f’\left(x\right)=\frac{x-\left(x+2\right)}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=-\frac{2}{x^{2}} \] Il valore della derivata in x=-1 corrisponde […]

Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\ln\left(2\sin x+\sin2x\right)^{2} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{\left(2\sin x+\sin2x\right)^{2}}\cdot2\left(2\sin x+\sin2x\right)\cdot\left(2\cos x+2\cos2x\right) \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2\cdot2\left(\cos […]

Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni nel punto indicato a fianco di ciascuna di esse: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}-5}\;,\; x_{0}=3 \] Calcoliamo il rapporto incrementale relativamente al punto x=3 e a un generico incremento h: \[ \frac{\Delta y}{\triangle x}=\frac{f\left(3+h\right)-f\left(3\right)}{h} \] Abbiamo che \[ f\left(3\right)=\sqrt{4}=2 \] \[ f\left(3+h\right)=\sqrt{\left(3+h\right)^{2}-5}=\sqrt{h^{2}+6h+4} \] Quindi \[ […]

Problemi svolti di massimo e minimo sui quadrilateri: Massimi e minimi – Problema 7 Massimi e minimi – Problema 8 Massimi e minimi – Problema 9 Massimi e minimi – Problema 10 Massimi e minimi – Problema 11 Massimi e minimi – Problema 12

Determinare l’ordine e la parte principale dei seguenti infiniti: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{3}-x^{2}+1 \] per \[ x\rightarrow\infty \] Soluzione In questo caso l’infinito campione è \[ \varphi\left(x\right)=x \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero. Osserviamo che, per \[ \alpha=3 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{3}}=1 \] […]

Determinare l’ordine e la parte principale dei seguenti infinitesimi: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{2}-1 \] per \[ x\rightarrow1 \] Soluzione In questo caso l’infinitesimo campione è \[ \varphi\left(x\right)=x-1 \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{\left(x-1\right)^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero. Procediamo come segue: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{\left(x-1\right)^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^{\alpha}} \] \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{\left(x-1\right)^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^{\alpha}}\cdot\lim_{x\rightarrow1}\left(x+1\right) \] Osserviamo […]

Di tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro 2P, qual’è quello di superficie massima? Soluzione Dato un rettangolo generico di base b e altezza h, l’area vale \[ A=bh \] Visto che il perimetro è costante, possiamo ricavarci h in funzione di b: \[ 2P=2\left(b+h\right)\rightarrow P=b+h \] \[ h=P-b \] Ora la nostra funzione A […]