Categoria: Analisi Matematica

Massimi e minimi – Problema 12

Determinare il massimo dell’area di un trapezio isoscele, dati la base minore b e il lato obliquo c. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{DC}=b \] \[ \overline{BC}=\overline{AD}=c \] \[ \overline{HB}=x \] Risulta \[ \overline{AB}=b+2x \] \[ \overline{CH}=\sqrt{c^{2}-x^{2}} \] L’area del trapezio vale \[ A=\frac{\left(\overline{AB}+\overline{DC}\right)\cdot\overline{CH}}{2} \] Viste le considerazioni sopra, possiamo scrivere questa […]

Calcolo della derivata terza

Calcolare la derivata terza delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{\frac{5}{3}} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{10}{9}x^{-\frac{1}{3}} \] E infine deriviamo per la terza volta: \[ f”’\left(x\right)=\frac{10}{9}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{4}{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=-\frac{10}{27}x^{-\frac{4}{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=-\frac{10}{27\sqrt[3]{x^{4}}} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\ln\sin x \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{\cos x}{\sin x} \] Derivando ulteriormente: \[ […]

Massimi e minimi – Problema 10

Inscrivere in un dato semicerchio il quadrilatero di superficie massima con un lato parallelo al diametro. Soluzione Rappresentiamo un semicerchio, e notiamo che il quadrilatero inscritto richiesto risulta un trapezio isoscele: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{OC}=\overline{OB}=r\rightarrow\overline{AB}=2r \] \[ \overline{OM}=\overline{CH}=h \] \[ \overline{DC}=b\rightarrow\overline{MC}=\overline{OH}=\frac{b}{2} \] La superficie del trapezio è \[ A=\frac{\left(\overline{AB}+\overline{DC}\right)\cdot\overline{CH}}{2} \] \[ A=\frac{h\left(2r+b\right)}{2} \] […]

Esercizi di riepilogo sulle derivate – Batteria 1

Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\left\{ \left[\frac{1}{2\sqrt{2-x^{2}}}\cdot\left(-2x\right)\right]\cdot x-\sqrt{2-x^{2}}\cdot1\right\} \cdot\frac{1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\left(-\frac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}-\sqrt{2-x^{2}}\right)\cdot\frac{1}{x^{2}} \] […]

Calcolo della derivata seconda

Calcolare la derivata seconda delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\sqrt{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\left(0-2\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\frac{1}{\left(2\sqrt{x}\right)^{2}} \] \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{4x} \] \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\frac{x^{3}}{x+1} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{2}\left(x+1\right)-x^{3}}{\left(x+1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{3}+3x^{2}-x^{3}}{\left(x+1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2x^{3}+3x^{2}}{\left(x+1\right)^{2}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(6x^{2}+6x\right)\left(x+1\right)^{2}-\left(2x^{3}+3x^{2}\right)\cdot2\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)\left[\left(6x^{2}+6x\right)\left(x+1\right)-\left(4x^{3}+6x^{2}\right)\right]}{\left(x+1\right)^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{6x^{3}+6x^{2}+6x^{2}+6x-4x^{3}-6x^{2}}{\left(x+1\right)^{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{2x^{3}+6x^{2}+6x}{\left(x+1\right)^{3}} […]

Derivate e rette tangenti

Scrivere l’ equazione della tangente al grafico di ciascuna delle seguenti curve nei punti la cui ascissa è indicata a fianco: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{x+2}{x}\;,\; x_{0}=-1 \] Soluzione Il dominio della funzione data è \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] Calcoliamo la derivata f'(x): \[ f’\left(x\right)=\frac{x-\left(x+2\right)}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=-\frac{2}{x^{2}} \] Il valore della derivata in x=-1 corrisponde […]

Applicare la definizione di derivata – Batteria 1

Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni nel punto indicato a fianco di ciascuna di esse: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}-5}\;,\; x_{0}=3 \] Calcoliamo il rapporto incrementale relativamente al punto x=3 e a un generico incremento h: \[ \frac{\Delta y}{\triangle x}=\frac{f\left(3+h\right)-f\left(3\right)}{h} \] Abbiamo che \[ f\left(3\right)=\sqrt{4}=2 \] \[ f\left(3+h\right)=\sqrt{\left(3+h\right)^{2}-5}=\sqrt{h^{2}+6h+4} \] Quindi \[ […]

Esercizi di riepilogo sulle derivate – Batteria 2

Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\ln\left(2\sin x+\sin2x\right)^{2} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{\left(2\sin x+\sin2x\right)^{2}}\cdot2\left(2\sin x+\sin2x\right)\cdot\left(2\cos x+2\cos2x\right) \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2\cdot2\left(\cos […]

Massimi e minimi: quadrilateri

Problemi svolti di massimo e minimo sui quadrilateri: Massimi e minimi – Problema 7 Massimi e minimi – Problema 8 Massimi e minimi – Problema 9 Massimi e minimi – Problema 10 Massimi e minimi – Problema 11 Massimi e minimi – Problema 12

Limiti di funzioni – Infiniti

Determinare l’ordine e la parte principale dei seguenti infiniti: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{3}-x^{2}+1 \] per \[ x\rightarrow\infty \] Soluzione In questo caso l’infinito campione è \[ \varphi\left(x\right)=x \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero. Osserviamo che, per \[ \alpha=3 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{3}}=1 \] […]