Problemi svolti, raggruppati per argomento, relativi al calcolo dei massimi e dei minimi in un intervallo chiuso e limitato (dettato dalle limitazioni geometriche dell’esercizio): Problemi di massimo e minimo – Triangoli (6 problemi svolti) Problemi di massimo e minimo – Quadrilateri (6 problemi svolti) Problemi di massimo e minimo – Circonferenza (6 problemi svolti) Problemi […]

Ricordando i limiti notevoli, calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x} \] Sfruttando una proprietà delle potenze, il limite si può scrivere così: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{2} \] Ricordando il limite notevole \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e \] avremo \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{2}=e^{2} \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow0}\left(1+2x\right)^{\frac{1}{x}} \] operiamo la sostituzione \[ z=\frac{1}{2x}\rightarrow x=\frac{1}{2z} \] Osserviamo che \[ \lim_{x\rightarrow0}z=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2x}=\infty \] […]

Calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^{2}+5x-1}{4x^{2}-5x+1} \] \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^{2}+5x-1}{4x^{2}-5x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}\left(3+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^{2}}}{4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{3}{4} \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^{2}-3x+5}{x+1} \] \[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^{2}-3x+5}{x+1}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^{2}\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{2}}\right)}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{2}}\right)}{1+\frac{1}{x}}=\pm\infty \] Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{3}-4x+1}{2-3x} \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{3}-4x+1}{2-3x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{3}\left(1-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{3}}\right)}{x\left(\frac{2}{x}-3\right)}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{2}\left(1-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{3}}\right)}{\frac{2}{x}-3}=\frac{+\infty}{-3} \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{3}-4x+1}{2-3x}=-\infty \] Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{5}{x^{3}+x-1} \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{5}{x^{3}+x-1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{5}{x^{3}\left(1+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}\right)}=\frac{5}{+\infty}=0^{+} \]

Calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x-4}{2x-5} \] Per x=1 si ha \[ 2x-5=-3\neq0 \] quindi la funzione è continua in x=1, e il limite per x tendente a 1 della stessa sarà coincidente con il valore della funzione in x=1: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x-4}{2x-5}=\frac{1-4}{2\cdot1-5}=\frac{-3}{-3}=1 \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{2}{x-2} \] Per x=2 si ha \[ […]

Calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-x^{5}+x^{2}\right) \] Soluzione \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-x^{5}+x^{2}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[x^{5}\left(-1+\frac{1}{x^{3}}\right)\right] \] Risulta \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}x^{5}=+\infty \] e \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-1+\frac{1}{x^{3}}\right)=-1 \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-x^{5}+x^{2}\right)=-\infty \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-3x^{4}+5x^{3}-x^{2}-x+2\right) \] Soluzione \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-3x^{4}+5x^{3}-x^{2}-x+2\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[x^{4}\left(-3+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{x^{4}}\right)\right] \] Risulta \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}x^{4}=+\infty \] e \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-3+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{x^{4}}\right)=-3 \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-3x^{4}+5x^{3}-x^{2}-x+2\right)=-\infty \] Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(-5x^{4}+x^{3}-2x^{2}\right) \] Soluzione \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(-5x^{4}+x^{3}-2x^{2}\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[x^{4}\left(-5+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}\right)\right] \] […]