Problema 1 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico
Testo Viene assegnato il settore circolare AOB di raggio r e ampiezza x (r e x sono misurati, rispettivamente, in metri e radianti). 1. Si provi che l’area S compresa fra l’arco e la corda AB è espressa, in funzione di x, da \[ S\left(x\right)=\frac{1}{2}r^{2}\left(x-\sin x\right)\; x\epsilon\left[0,2\pi\right] \] 2. Posto r = 1, si studi […]
Traccia della seconda prova – Maturità 2009 Liceo scientifico
Problema 2 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico
Testo Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche, si tracci il grafico Gf della funzione f(x) logaritmo naturale. 1. Sia A il punto d’intersezione con l’asse y della tangente a G in un suo punto P. Sia B il punto d’intersezione con l’asse y della parallela per P all’asse x. Si dimostri che, […]
Quesito 1 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico
Testo Si trovi la funzione f(x) la cui derivata è sen x e il cui grafico passa per il punto (0,2). Soluzione L’insieme delle funzioni primitive che soddisfa alla condizione \[ f’\left(x\right)=\sin x \] è dato dall’integrale indefinito \[ \int\sin xdx=-\cos x+C \] Per determinare la costante di integrazione C – ossia per individuare la […]
Quesito 2 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico
Testo Sono dati gli insiemi \[ A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \] \[ B=\left\{ a,b,c\right\} \] Tra le possibili applicazioni – o funzioni – di A in B, ce ne sono di suriettive? E di iniettive? E di biiettive? Soluzione Dato che la cardinalità di A è 4 – cioè l’insieme A ha 4 elementi distinti- e B […]
Quesito 3 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico
Testo Per quale o quali valori di k la curva d’equazione \[ y=x^{3}+kx^{2}+3x-4 \] ha una sola tangente orizzontale? Soluzione La curva di equazione \[ y=x^{3}+kx^{2}+3x-4 \] è un famiglia di cubiche che rappresenta delle funzioni continue e derivabili in tutto l’insieme dei numeri reali, la cui derivata prima è: \[ y’=3x^{2}+2kx+3 \] e la […]
Quesito 4 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico
Testo “Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta. Soluzione L’affermazione riportata nel testo è chiaramente falsa in quanto la somma degli angoli uscenti da uno stesso vertice delle tre possibili facce sarebbe pari a 360 […]
Quesito 5 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico
Testo Si considerino le seguenti espressioni: \[ \frac{0}{1};\frac{0}{0};\frac{1}{0};0^{0} \] A quali di esse si può attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta. Soluzione Posto \[ \alpha=\frac{0}{1} \] la definizione di quoziente implica che debba rappresentare quel numero tale che sia \[ \alpha\cdot1=0\rightarrow\alpha=0 \] e questa uguaglianza è soddisfatta unicamente da 0. La prima scrittura […]
Quesito 6 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico
Testo Si calcoli il seguente: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x} \] Soluzione Il limite dato ricade in una forma di indeterminazione del tipo \[ \frac{\infty}{\infty} \] cerco quindi di scrivere la funzione ad argomento del limite fattorizzando uno dei termini sotto la radice: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{|x|}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} \] Posso togliere il valore assoluto considerando che il limite è per valori […]