Tra tutti i triangoli con la stessa ipotenusa, trovare quello di area massima. Soluzione Chiamiamo i l’ipotenusa, ricordandoci che è una costante. Chiamiamo a e b i cateti. L’area vale: \[ A=\frac{ab}{2} \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo esprimere l’una in funzione dell’altra ( e dell’ipotenusa) grazie al teorema di […]
Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende all’infinito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(2x^{3}-1\right)=\infty \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \left|2x^{3}-1\right|>M \] sia verificata per tutti i valori di x […]
Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende all’infinito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{1-x}=+\infty \] La funzione è definita per \[ x\leq1 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \sqrt{1-x}>M \] sia verificata per tutti i valori di x […]
Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\frac{3}{2}}\frac{-2}{\left(2x-3\right)^{2}}=-\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq\frac{3}{2} \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \frac{-2}{\left(2x-3\right)^{2}}\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{M}}\;\wedge\; x
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{\ln x-1}{1-x} \] 1) Dominio: \[ \left\{ \begin{array}{c} x>0\\ x\neq1 \end{array}\right. \] \[ D=\left(0;1\right)\:\cup\:\left(1;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ \ln x=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=e […]
Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{2}{5x-10}=\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq2 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \left|\frac{2}{5x-10}\right|>M \] sia verificata per tutti i […]
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}-\left|x\right|} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo: Se \[ x\geq0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}-x} \] Se \[ x<0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}+x} \] 1) Dominio: \[ \left\{ \begin{array}{c} x\geq0\\ x^{2}-x\geq0 \end{array}\right.\cup\left\{ \begin{array}{c} x<0\\ x^{2}+x\geq0 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x\geq0\\ x\leq0\:\vee\: x\geq1 \end{array}\right.\cup\left\{ \begin{array}{c} x<0\\ […]
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-\left|x\right|} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo: Se \[ x\geq0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-x} \] Se \[ x<0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1+x} \] 1) Dominio: \[ 1-\left|x\right|\geq0\rightarrow\left|x\right|\leq+1\rightarrow x\in\left[-1;+1\right] \] \[ D=\left[-1:+1\right] \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\sqrt{1-\left|-x\right|}=\sqrt{1-\left|x\right|}=f\left(x\right) \] f(x) è pari: per comodità la possiamo studiare […]
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x\left(x-1\right)^{2}}{\left(x+1\right)^{2}} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R}-\left\{ -1\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ f\left(0\right)=0\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] \[ f\left(x\right)=0\rightarrow x\left(x-1\right)^{2}=0\rightarrow x=0\:,\: x=1\rightarrow\left(1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x>0 \] \[ f\left(x\right)<0\rightarrow x<0 \] […]
Esercizi svolti sulla definizione di limite: Limite finito per x che tende ad un valore finito 1 (4 esercizi svolti)Limite finito per x che tende ad un valore finito 2 (4 esercizi svolti)Limite finito per x che tende all’infinito 1 (4 esercizi svolti)Limite finito per x che tende all’infinito 2 (4 esercizi svolti)Limite infinito per […]