Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=2^{x+\frac{1}{x}} \] La funzione può essere scritta anche così: \[ f\left(x\right)=2^{\frac{x^{2}+1}{x}} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=2^{-\frac{x^{2}+1}{x}} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ […]
Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende all’infinito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(2x^{3}-1\right)=\infty \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \left|2x^{3}-1\right|>M \] sia verificata per tutti i valori di x […]
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=e^{\frac{x-2}{x}} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=e^{\frac{x+2}{x}} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ f\left(x\right)=0\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\:\forall x\in D \] […]
Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\frac{3}{2}}\frac{-2}{\left(2x-3\right)^{2}}=-\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq\frac{3}{2} \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \frac{-2}{\left(2x-3\right)^{2}}\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{M}}\;\wedge\; x
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{\tan x}-1}{e^{\tan x}+1}\;,\: con\; x\in\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] 1) Dominio: \[ D=\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{e^{\tan\left(-x\right)}-1}{e^{\tan\left(-x\right)}+1}=\frac{e^{-\tan x}-1}{e^{-\tan x}+1} \] \[ f\left(-x\right)=\left(\frac{1}{e^{\tan x}}-1\right):\left(\frac{1}{e^{\tan x}}+1\right)=\frac{1-e^{\tan x}}{e^{\tan x}}\cdot\frac{e^{\tan x}}{1+e^{\tan x}}=\frac{1-e^{\tan x}}{1+e^{\tan x}} \] \[ f\left(-x\right)=-f\left(x\right) \] f(x) è dispari, per comodità la studiamo solo nell’intervallo {[}0;pi/2). Per x negative, la curva sarà simmetrica rispetto […]
Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{2}{5x-10}=\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq2 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \left|\frac{2}{5x-10}\right|>M \] sia verificata per tutti i […]
Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende all’infinito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{x+2}=1 \] La funzione è definita per \[ x\neq-2 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\frac{x}{x+2}-1\right|
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x\left(x-1\right)^{2}}{\left(x+1\right)^{2}} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R}-\left\{ -1\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ f\left(0\right)=0\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] \[ f\left(x\right)=0\rightarrow x\left(x-1\right)^{2}=0\rightarrow x=0\:,\: x=1\rightarrow\left(1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x>0 \] \[ f\left(x\right)<0\rightarrow x<0 \] […]
Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende all’infinito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}+1}{3x^{2}+1}=\frac{1}{3} \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\frac{x^{2}+1}{3x^{2}+1}-\frac{1}{3}\right|
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{2x-1}{xe^{x}} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=\frac{1}{2} \end{array}\right.\rightarrow\left(\frac{1}{2};0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} Num\geq0\rightarrow […]