Categoria: Analisi Matematica

Limite finito per x che tende ad un valore finito – Batteria 2

Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende a un valore finito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow1}\sqrt[3]{x^{2}+7}=2 \] La funzione è definita in qualsiasi intorno di 1. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\sqrt[3]{x^{2}+7}-2\right|\left(2-\varepsilon\right)^{3}\;\wedge\; x^{2}+7\left(2-\varepsilon\right)^{3}-7\;\wedge\; x^{2}\left(2-\varepsilon\right)^{3}-7\;\wedge\; x^{2}\sqrt{\left(2-\varepsilon\right)^{3}-7}\;\wedge\; x0 \] […]

Studio di funzioni – Esercizio 92

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x+\ln x+\frac{2}{x}+2 \] 1) Dominio: \[ x>0 \] \[ D=\left(0;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x+\ln x+\frac{2}{x}+2=0 \end{array}\right.\rightarrow\nexists x\in D\;|\; x+\ln x+\frac{2}{x}+2=0\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) […]

Limiti – Applicare la definizione

Esercizi svolti sulla definizione di limite: Limite finito per x che tende ad un valore finito 1 (4 esercizi svolti)Limite finito per x che tende ad un valore finito 2 (4 esercizi svolti)Limite finito per x che tende all’infinito 1 (4 esercizi svolti)Limite finito per x che tende all’infinito 2 (4 esercizi svolti)Limite infinito per […]

Studio di funzioni – Esercizio 90

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x-\sqrt{x^{2}-1} \] 1) Dominio: \[ x^{2}-1\geq0\rightarrow x\leq-1\:\vee\: x\geq+1 \] \[ D=\left(-\infty;-1\right]\:\cup\:\left[+1;+\infty\right) \] In particolare, ai confini del dominio, appartengono alla funzione i punti (-1;-1) e (1;1). 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=-x-\sqrt{x^{2}-1} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: […]

Limite finito per x che tende ad un valore finito – Batteria 1

Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende a un valore finito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow-2}\left(2x+1\right)=-3 \] La funzione y=2x+1 è definita in qualsiasi intorno di -2. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\left(2x+1\right)-\left(-3\right)\right|0 \] arbitrariamente piccolo, la […]

Studio di funzioni – Esercizio 91

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{x}-1}{x} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{e^{-x}-1}{-x}=-\frac{e^{-x}-1}{x} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ e^{x}-1=0 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ e^{x}=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} […]

Studio di funzioni – Esercizi di riepilogo

Esercizi svolti di riepilogo sullo studio del grafico di una funzione: Studio di funzioni – Esercizio 89 Studio di funzioni – Esercizio 90 Studio di funzioni – Esercizio 91 Studio di funzioni – Esercizio 92 Studio di funzioni – Esercizio 93 Studio di funzioni – Esercizio 94 Studio di funzioni – Esercizio 95 Studio di […]

Studio di funzioni – Esercizio 89

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^{2}}e^{x} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\sqrt[3]{\left(-x\right)^{2}}e^{-x}=\sqrt[3]{x^{2}}e^{-x} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\;\forall x\in\mathbb{R} \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] […]

Studio di funzioni – Esercizio 85

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1+\left|x\right|} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo: Se \[ x\geq0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1+x} \] Se \[ x<0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-x} \] 1) Dominio: \[ 1+\left|x\right|\geq0\rightarrow\left|x\right|\geq-1\;\forall x\mathbb{\in R} \] \[ D=\mathbb{R} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\sqrt{1+\left|-x\right|}=\sqrt{1+\left|x\right|}=f\left(x\right) \] f(x) è pari: per comodità la possiamo […]

Studio di funzioni – Esercizio 88

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}-\left|x\right|} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo: Se \[ x\geq0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}-x} \] Se \[ x<0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}+x} \] 1) Dominio: \[ \left\{ \begin{array}{c} x\geq0\\ x^{2}-x\geq0 \end{array}\right.\cup\left\{ \begin{array}{c} x<0\\ x^{2}+x\geq0 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x\geq0\\ x\leq0\:\vee\: x\geq1 \end{array}\right.\cup\left\{ \begin{array}{c} x<0\\ […]