Categoria: Esercizi di Matematica

Studio di funzioni – Esercizio 8

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=2x^{2}\ln x \] 1) Dominio: \[ D=\left(0;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=2x^{2}\ln\left(-x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=1 \end{array}\right.\rightarrow\left(1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow\ln x>0\rightarrow x>1 \] 5) Limiti: \[ […]

Studio di funzioni – Esercizio 4

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{\ln\left(2x\right)}{x} \] 1) Dominio: \[ D=\left(0;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{\ln\left(-2x\right)}{-x}=-\frac{\ln\left(-2x\right)}{x} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=\frac{1}{2} \end{array}\right.\rightarrow\left(\frac{1}{2};0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ N>0\rightarrow\ln\left(2x\right)>0\rightarrow x>\frac{1}{2} \] \[ D>0\rightarrow x>0 \] \[ […]

Studio di funzioni – Esercizio 7

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x-2}} \] 1) Dominio: \[ D=\left(2;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{-x}{\sqrt{-x-2}} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=0 \end{array}\right.\rightarrow x=0\notin D \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\:\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ […]

Derivate immediate – Formulario

\[ f\left(x\right)=c\rightarrow f’\left(x\right)=0 \] \[ f\left(x\right)=x\rightarrow f’\left(x\right)=1 \] \[ f\left(x\right)=x^{b}\rightarrow f’\left(x\right)=bx^{b-1}\;,\; b\in\mathbb{R} \] \[ f\left(x\right)=\sqrt{x}\rightarrow f’\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}\rightarrow f’\left(x\right)=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \] \[ f\left(x\right)=\sin x\rightarrow f’\left(x\right)=\cos x \] \[ f\left(x\right)=\cos x\rightarrow f’\left(x\right)=-\sin x \] \[ f\left(x\right)=\tan x\rightarrow f’\left(x\right)=1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x} \] \[ f\left(x\right)=\arcsin x\rightarrow f’\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \] \[ f\left(x\right)=\arccos x\rightarrow f’\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \] \[ f\left(x\right)=\arctan x\rightarrow f’\left(x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} \] \[ f\left(x\right)=a^{x}\rightarrow […]

Disequazioni fratte – Esercizi vari 1

Due disequazioni fratte: Esercizio 1 Scomponiamo il primo denominatore: Cambiamo segno agli altri 2 denominatori, e alle rispettive frazioni. Portiamo tutto al primo membro: Comune denominatore: Svolgiamo i calcoli: Ora poniamo il numeratore N>0 e i due fattori del denominatore D1>0 e D2>0 Dal grafico del segno (considerando che 7/3 è circa 2,3) otteniamo: Esercizio […]

Geometria analitica – Esercizio di riepilogo 3

Calcolare le coordinate dei punti comuni all’iperbole xy=4 e alla parabola e determinare la misura dell’area del triangolo avente per vertici i punti di intersezione delle due curve. Soluzione Per trovare i punti di intesezione mettiamo a sistema iperbole e parabola: Troviamo x sviluppando la seconda: che si scompone prima con ruffini (c=-1): e poi […]

Integrali risolti col metodo della decomposizione in somma

3 esercizi  sull’integrazione  per decomposizione in somma. Esercizio 1 Sommando e sottraendo 1 al numeratore della funzione integranda otteniamo Esercizio 2 Calcoliamo l’integrale indefinito ricordando la definizione della funzione tangente, abbiamo per decomposizione in somma otteniamo Esercizio 3 Calcoliamo l’integrale indefinito ricordiamo la formula di duplicazione da cui si deduce che Otteniamo nell’ultimo passaggio si […]

Geometria analitica – Esercizio di riepilogo 2

L’ellisse di equazione è tangente alla retta nel punto di ascissa . Determinare l’equazione dell’ellisse, le coordinate dei fuochi e l’eccentricità. Soluzione Per prima cosa troviamo l’ ordinata del punto dall’equazione della retta: Usando la formula di sdoppiamento per l’ellisse: Moltiplico a dx e sx per 12, in modo da avere lo stesso termine noto […]

Geometria analitica – Esercizio di riepilogo 1

Scrivere l’equazione dell’ellisse, riferita al centro e agli assi, sapendo che il semiasse maggiore misura 4, che l’ellisse è tangente alla retta x + 2y – 8 = 0 nel punto A e che i fuochi stanno sull’asse x. Calcolare le coordinate dei fuochi e l’eccentricità. Verificare che il punto A appartiene all’iperbole equilatera xy […]