Limiti di funzioni

Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell’analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e di punto di discontinuità. Serve inoltre a definire la derivata ed è quindi basilare per tutto il calcolo differenziale. Il limite di una funzione f in un punto Xo indica il valore “a cui si avvicinano sempre di più” i valori della funzione quando viene calcolata in punti sempre più vicini ad Xo. [Fonte: Wikipedia]

Formulari sui limiti di funzioni:

Limiti notevoli – Formulario

Esercizi svolti sui limiti di funzioni:

Limiti di funzioni – Applicare la definizione (32 esercizi svolti)
Limiti di funzioni – Operazioni sui limiti 1 (24 esercizi svolti)
Limiti di funzioni – Operazioni sui limiti 2 (8 esercizi svolti)
Limiti di funzioni razionali intere (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni razionali fratte – Batteria 1 (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni razionali fratte – Batteria 2 (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni composte – Batteria 1 (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni composte – Batteria 2 (4 esercizi svolti)
Limiti notevoli – Batteria 1 (4 esercizi svolti)
Limiti notevoli – Batteria 2 (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni – Forme indeterminate (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni – Esercizi di riepilogo (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni – Infinitesimi (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni – Infiniti (4 esercizi svolti)
Derivate e limiti – Regola di De L’Hopital (6 esercizi svolti)
Derivate e limiti – Sviluppi in serie di Taylor e McLaurin 1 (2 esercizi svolti)
Derivate e limiti – Sviluppi in serie di Taylor e McLaurin 2 (2 esercizi svolti)

82 thoughts on “Limiti di funzioni

  1. Ciao Alberto,
    Complimenti per il sito, potresti risolvere questi due limiti:
    limite x tende a + infinito di 2x^2 + 3/x^2 +1 e verificare il risultato utilizzando la definizione di limite
    limite x tende a 0+ di 1/2e^x – 2

  2. Ciao Albert! Innanzitutto complimenti per il sito!
    Volevo sapere se potevi aiutarmi con questo limite!
    lim (3x – cos x^2 ) / (2x + sin^2 x)
    per x -> infinito
    Ringrazio anticipatamente! :D

  3. Salve!per favore potrebbe aiutarmi con questi due limiti?
    il primo è: lim per x che tende a 2+ di log(x-2)tutto diviso X^2-4
    il secondo è:lim per x che tende a 27 di x-27 il tutto diviso per (x^1/3)-3

    grazie infinite

    1. Ciao Massimiliano, grazie, perdonami ma è troppo lungo risolverlo qui… cumunque proverei a porre 1/n=t (quindi n->0) e poi proverei ad usare Mc Laurin.

    1. lim (x->-inf) [log(1+e^(-x))-1+e^(-|x|)]/x =

      lim (x->-inf) (log(1+e^(-x)))/x -1/x +(e^(-|x|))/x

      lim (x->-inf) (log(1+e^(-x)))/x +0 +0/(-inf) =
      lim (x->-inf) (log(1+e^(-x)))/x =

      …e questo lo risolvi con de l’hopital

  4. Salve! Prima di tutto complimenti per il sito, è davvero ben fatto e l’ho trovato utilissimo per esercitarmi.
    Ho un piccolo problema con questo limite:
    Lim x–>+inf [(e^2x-e^x+senx)/(x^3-x^2)]
    Secondo il software wolfram alpha il risultato dovrebbe essere -inf, ma a me viene +inf.
    Io lo risolvo così:
    metto in evidenza e^x al numeratore e x^3 al denominatore:
    Lim [e^x(e^x-1+(senx/e^x))]/[x^3(1-(1/x))]
    così avrò
    Lim(e^x/x^3)Lim[(e^x-1+(senx/e^x))/(1-(1/x))]
    Il primo è un limite notevole e vale +inf, il secondo equivale a:
    (+inf-1-0)/(1-0) quindi= +inf
    Il mio risultato finale è quindi:
    (+inf)(+inf)=+inf
    Dov’è che sbaglio?
    Grazie :)

    1. 1) lim (x->inf) 2^x sen(n/2^x) = [inf*0]
      lim (x->inf) sen(n 2^(-x)) / 2^(-x) = [0/0]

      t=2^(-x) -> t->0

      lim (t->0) sen(nt) / t = (De L’hopital)
      lim (t->0) ncos(nt) / 1 = n * 1 = n

      2) Proverei a farlo con Mc Laurin ponendo t=x-alfa in modo che t tenda a zero, e (sen(t+alfa))^3=(t+alfa)^3

  5. Ciao.. potresti per favore aiutarmi a risolvere questo limite per x->o lim[log( cos(x^2*2^1/2))- xsinx+x^2]/x^4/6… grazie mille…complimenti per il sito…molto utile davvero…

    per specificare meglio l’argomento del coseno è “radice quadrata di due” *x^2 .. grazie ancora

  6. Albert non riesco a calcolare questo limite!!!
    lim per x–>+inf di x/2 [(rad di 9x^2-3x+5/x+1)-3]
    Dovrebbe uscire la forma inderminta inf/inf ma sono bloccata!!! Ho provato a razionalizzare ma non riesco..se puoi darmi un aiuto spiegandomi i passaggi!!
    Grazie tanteee

    1. La radice va a infinito, perchè il numeratore del radicando ha grado superiore del denominatore (vediti le razionali fratte). Nella quadra inf-3=inf, quindi inf*inf = infinito

  7. scusami se ti disturbo ma come si svolgono questi esercizi?
    – lim (x-> infinito) x^2/e^x
    – lim (x-> – infinito) 2x^4+2x^3+3 / x^5 -3x+2
    – lim (x-> – infinito) x^5-1 / x^7+1

    1. Il primo lo risolvi con de l’hopital (2 volte): vince l’infinito al denominatore e il limite va a zero

      Gli altri due sono funzioni razionali fratte: raccogli la x di grado massimo al numeratore e denominatore ottenendo zero in entrambi i casi (i denominatori hanno grado superiore). Qui hai vari esempi simili:

      http://www.matepratica.info/2012/02/limiti-di-funzioni-razionali-fratte.html

      http://www.matepratica.info/2012/02/limiti-di-funzioni-razionali-fratte_24.html

    1. fai
      lim (x->-1) f(x) = [0/0]
      = lim (x->-1) x+1/((x+1)(x-1)) =
      = lim (x->-1) 1/(x-1) = -1/2

      ed è quindi una discontinuità di terza specie

  8. Ciao Albert!
    Ho questo limite: rad cubica di x^3-1. Per +-inf il risultato è direttamente inf per entrambi? Grazie tanteee!! :)

    1. devo calcolare anche l’asintoto obliquo..facendo f(x) fratto x quindi,ho messo in evidenza x^3 al numeratore dentro la radice..ma non riesco più a continuare!!!

    2. – Per x->+inf f(x) tende a +inf
      – Per x->-inf f(x) tende a -inf

      – Si poi porti fuori x^3 e al numeratore ti resta x (che si semplifica col denominatore) per la radice di (1-0) quindi m=1

    3. scusa, ma come faccio a portare x^3 fuori? Anche se lo facessi, mi rimane comunque senza che lo possa semplificare! Dov’è il mio erroree?? Grazie..

  9. Ciao Albert!! Ho difficoltà con questo limite! Puoi aiutarmi?
    lim (x–> +- 1/rad2) di 5e^x / (2x^2-1).
    Inoltre, per il lim–>-inf mi esce inf, invece dovrebbe dare 0. Un’ultima cosa..in questa funzione devo calcolare anche il lim che tende a 0? Nel dominio non è escluso 0?
    Grazie mille!!!!

    1. Ciao,

      lim (x–> +- 1/rad2) di 5e^x / (2x^2-1) =
      = numero / zero = infinito

      lim (x–> -inf) di 5e^x / (2x^2-1) =
      = zero / infinito = zero

      Per x=0 la funzione vale -5, non ci sono discontinuità

  10. Io porrei t=1/x^2 che tende a infinito per x che tende a zero, quindi il tuo limite è uguale a:

    lim(t–>inf) di e^t / t^2 = [inf/inf]

    Vai 2 volte con de l’hopital ottenendo

    lim(t–>inf) di e^t / 2 = infinito

  11. Ciao Albert, potresti aiutarmi con questo limite?
    lim(x–>0) di x^2 e^1/x^2
    mi viene la forma inderminata 0 per inf e ho provato con la regola di dividere numer e denom per il termine che tende a 0, ma non mi esce!
    Grazie in anticipo

    1. lim(x–>+inf) di e^(x-x^2) =
      lim(x–>+inf) di e^((1/x-1)x^2) =
      lim(x–>+inf) di e^((0-1)x^2) =
      lim(x–>+inf) di e^(-x^2) =
      = e^(-inf) = 0

  12. Ciau mi complimenti anch’io per il sito e se posso domando un limite:

    per x che tende a infinito ln(1+3e^x)-x, viene la forma differenza di infini con lo stesso segno. Non mi pare si possano fare messe in evidenza nè tantomeno applicare asintotiche equivalenze :(

    1. Ciao! Raccogli e^x dentro l’argomento del logaritmo, poi sai che il log di un prodotto è la somma dei log dei fattori, quindi ottieni:

      lim ln(e^x) +ln(1/e^x +3) -x
      lim xln(e) +ln(1/e^x +3) -x
      lim x +ln(1/e^x +3) -x
      lim ln(1/e^x +3) = ln(3)

  13. Spero di non essere tardi allora… però non hai specificato a cosa tende x:

    Se x tende a zero come immagino, basta usare de l’hopital due volte:

    (1/sqrt(1+x) -e^(x)) / (2x) =
    (-1/(2(sqrt(1+x))^3) -e^(x))/2=
    = (-1/2-1) /2 = -3/4

  14. lim x->∞ sqrt(x^2-x)-xsin(1/x)

    è una questione di raccoglimenti:

    lim x->∞ sqrt(x^2-x)-xsin(1/x) =
    lim x->∞ sqrt(x^2 (1-1/x))-xsin(1/x)=
    lim x->∞ x sqrt(1-1/x) -xsin(1/x) =
    lim x->∞ x (sqrt(1-1/x)-sin(1/x)) =
    lim x->∞ x (1-0) =
    lim x->∞ x = ∞

  15. lim x->0 (1\x +lnx) = [inf-inf]
    che una forma indeterminata.

    Faccio il comune denominatore:
    lim x->0 (1\x +lnx) =
    lim x->0 (1+xlnx)/x =

    Ora mi occupo della forma indeterminata:
    lim x->0 (xlnx) = [0*inf]
    lim x->0 (xlnx) =
    lim x->0 (lnx)/(1/x) = [inf/inf]
    applico de l’hopital:
    lim x->0 (lnx)/(1/x) =
    lim x->0 (1/x)/(-1/x^2) =
    lim x->0 (1/x)*(-x^2) =
    lim x->0 (-x) = 0

    Quindi:
    lim x->0 (1+xlnx)/x =
    lim x->0 (1+0)/0 = 1/0 = +inf

  16. Ciao Anonimo,

    mi dispiace, ma così come l’hai scritto non si riesce a capire il testo dell’esercizio: metti un po’ di parentesi in modo che si riesca a capire qual’è l’esponente del seno, e quale il suo argomento…

  17. determinare il valore di alfa maggiore di zero tale che il limite per x che tende a omeno di sen^3x +1 -cosx + radice di tgx \ x ^alfa sia uguale a zero…ti ringrazio in anticipo!!!

  18. ciao potresti per favore risolvere questo limite ? per x che tende a infinito ..radice di x – lnx \x-arctgx
    alllora io ho trascurato al numeratore il logaritmo,al denominatore cosa devo trascurare?? è molto urgente..grazie mille davvero

  19. – Limite per x che tende a +-inf:

    lim (x-1)e^-|x-1| =
    lim (x-1)/e^|x-1| = [inf/inf]
    Puoi usare De L’Hopital nei due casi. Per x–>+inf:
    lim (x-1)/e^|x-1| =
    lim (x-1)/e^(x-1) =
    lim 1/e^(x-1) = [1/+inf] = 0+
    Per x–>-inf:
    lim (x-1)/e^|x-1| =
    lim (x-1)/e^(-x+1) =
    lim 1/-e^(-x+1) = [1/-inf]= 0-

    Derivata: fai i due casi. Per x<1:
    f(x)=(x-1)e^-(-x+1)
    f(x)=(x-1)e^(x-1)
    Facendo i conti:
    f'(x)=xe^(x-1)
    Per x>=1:
    f(x)=(x-1)e^-(x-1)
    f(x)=(x-1)e^(1-x)
    Facendo i conti:
    f'(x)=(2-x)e^(1-x)

  20. Albert devo fare il limite e la derivata di questa funzione:
    (x-1)e^-|x-1|. Potresti aiutarmi? Con il limite che da inf/inf non riesco ad applicare nessuna regola.. Grazie in anticipo

  21. Albert riguardo la funzione di prima è 5e^x / 2x^2 – 1. avevo dimenticato un due. Comunque, se puoi, potresti svolgere anche l’insieme di definizione, i limiti e la derivata cortesemente? Grazie mille..

  22. Albert scusa
    ho questa funzione: 5e^x / 2x^ – 1.
    il limite per x-> + inf mi potresti dire come si risolve? Esce la forma indeterminata inf/inf, ma non riesco ad andare avanti! Grazie in anticipoo :)

  23. Ciao Anonimo,

    1)
    lim x->0 x^2/log(x^3+1) = 0/0
    è una forma indeterminata del tipo 0/0 e uso De L’Hopital:

    lim x->0 x^2/log(x^3+1) =
    lim x->0 (2x)/((3x^2)/(x^3+1)) =
    lim x->0 (2x^3 + 2)/(3x)= 2/0 = infinito

    2)
    lim x->0 sin(log(x+1))/x = 0/0
    è una forma indeterminata del tipo 0/0 e uso De L’Hopital:

    lim x->0 sin(log(x+1))/x =
    lim x->0 cos(log(x+1))*(1/(x+1))/1 =
    lim x->0 (cos(log(x+1)))/(x+1) =
    lim x->0 (cos0)/1 = 1/1 = 1

  24. ciao, potresti risolvere questi due limiti:
    lim x->0 x^2/log(x^3+1)

    lim x->0 sin(log(x+1))/x

    P.S:complimenti per il sito, fatto molto utile e davvero utile!

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