Determinare il punto della parabola [ 4y+x^{2}=10x-5 ] per il quale è massima la somma delle sue coordinate. Soluzione Scrivendo l’equazione della parabola in forma esplicita otteniamo: [ y=frac{1}{4}left(-x^{2}+10x-5right) ] Il punto generico P della parabola ha coordinate: [ Pleft(x;frac{1}{4}left(-x^{2}+10x-5right)right) ] La somma delle coordinate di P è la nostra funzione di x: [ f=x_{P}+y_{P} […]
Determinare sull’arco di un settore di raggio r un punto per cui sia massima la somma delle distanze dai lati del settore. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=\overline{OP}=r \] \[ A\hat{O}B=\alpha \] \[ A\hat{O}P=x \] Vogliamo sia massima la funzione \[ f=\overline{KP}+\overline{HP} \] Scriviamo KP in funzione di x, sapendo che il […]
Problemi svolti di massimo e minimo sulla circonferenza: Massimi e minimi – Problema 13 Massimi e minimi – Problema 14 Massimi e minimi – Problema 15 Massimi e minimi – Problema 16 Massimi e minimi – Problema 17 Massimi e minimi – Problema 18
Inscrivere in un dato semicerchio il quadrilatero di superficie massima con un lato parallelo al diametro. Soluzione Rappresentiamo un semicerchio, e notiamo che il quadrilatero inscritto richiesto risulta un trapezio isoscele: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{OC}=\overline{OB}=r\rightarrow\overline{AB}=2r \] \[ \overline{OM}=\overline{CH}=h \] \[ \overline{DC}=b\rightarrow\overline{MC}=\overline{OH}=\frac{b}{2} \] La superficie del trapezio è \[ A=\frac{\left(\overline{AB}+\overline{DC}\right)\cdot\overline{CH}}{2} \] \[ A=\frac{h\left(2r+b\right)}{2} \] […]
Calcolare la derivata seconda delle seguenti funzioni: Esercizio 1 [ fleft(xright)=sqrt{x} ] Soluzione [ f’left(xright)=frac{1}{2sqrt{x}} ] Derivando ulteriormente: [ f”left(xright)=left(0-2frac{1}{2sqrt{x}}right)frac{1}{left(2sqrt{x}right)^{2}} ] [ f”left(xright)=-frac{1}{sqrt{x}}cdotfrac{1}{4x} ] [ f”left(xright)=-frac{1}{4xsqrt{x}} ] Esercizio 2 [ fleft(xright)=frac{x^{3}}{x+1} ] Soluzione [ f’left(xright)=frac{3x^{2}left(x+1right)-x^{3}}{left(x+1right)^{2}} ] [ f’left(xright)=frac{3x^{3}+3x^{2}-x^{3}}{left(x+1right)^{2}} ] [ f’left(xright)=frac{2x^{3}+3x^{2}}{left(x+1right)^{2}} ] Derivando ulteriormente: [ f”left(xright)=frac{left(6x^{2}+6xright)left(x+1right)^{2}-left(2x^{3}+3x^{2}right)cdot2left(x+1right)}{left(x+1right)^{4}} ] [ f”left(xright)=frac{left(x+1right)left[left(6x^{2}+6xright)left(x+1right)-left(4x^{3}+6x^{2}right)right]}{left(x+1right)^{4}} ] [ f”left(xright)=frac{6x^{3}+6x^{2}+6x^{2}+6x-4x^{3}-6x^{2}}{left(x+1right)^{3}} ] [ f”left(xright)=frac{2x^{3}+6x^{2}+6x}{left(x+1right)^{3}} […]
Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\left\{ \left[\frac{1}{2\sqrt{2-x^{2}}}\cdot\left(-2x\right)\right]\cdot x-\sqrt{2-x^{2}}\cdot1\right\} \cdot\frac{1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\left(-\frac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}-\sqrt{2-x^{2}}\right)\cdot\frac{1}{x^{2}} \] […]
Scrivere l’ equazione della tangente al grafico di ciascuna delle seguenti curve nei punti la cui ascissa è indicata a fianco: Esercizio 1 [ fleft(xright)=frac{x+2}{x};,; x_{0}=-1 ] Soluzione Il dominio della funzione data è [ D=mathbb{R}-left{ 0right} ] Calcoliamo la derivata f'(x): [ f’left(xright)=frac{x-left(x+2right)}{x^{2}} ] [ f’left(xright)=-frac{2}{x^{2}} ] Il valore della derivata in x=-1 corrisponde […]
Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\ln\left(2\sin x+\sin2x\right)^{2} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{\left(2\sin x+\sin2x\right)^{2}}\cdot2\left(2\sin x+\sin2x\right)\cdot\left(2\cos x+2\cos2x\right) \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2\cdot2\left(\cos […]
Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni nel punto indicato a fianco di ciascuna di esse: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}-5}\;,\; x_{0}=3 \] Calcoliamo il rapporto incrementale relativamente al punto x=3 e a un generico incremento h: \[ \frac{\Delta y}{\triangle x}=\frac{f\left(3+h\right)-f\left(3\right)}{h} \] Abbiamo che \[ f\left(3\right)=\sqrt{4}=2 \] \[ f\left(3+h\right)=\sqrt{\left(3+h\right)^{2}-5}=\sqrt{h^{2}+6h+4} \] Quindi \[ […]
Problemi svolti di massimo e minimo sui quadrilateri: Massimi e minimi – Problema 7 Massimi e minimi – Problema 8 Massimi e minimi – Problema 9 Massimi e minimi – Problema 10 Massimi e minimi – Problema 11 Massimi e minimi – Problema 12