Limiti di funzioni

Limiti: esercizi svolti con soluzioni

Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell’analisi matematica: formalizza l’idea di avvicinarsi a un valore senza necessariamente raggiungerlo, ed è alla base di derivate, integrali e studio di funzioni. In questa pagina trovi una raccolta completa di esercizi svolti sul calcolo dei limiti, organizzati per argomento, con spiegazioni passo per passo.

Indice degli argomenti

  1. Definizione di limite e verifica con la definizione
  2. Operazioni sui limiti e forme indeterminate (0/0, ∞/∞, ∞−∞)
  3. Limiti per tipo: finiti e infiniti
  4. Limiti notevoli
  5. Continuità e punti di discontinuità
  6. Tutti gli esercizi svolti sui limiti

Definizione di limite

La definizione formale (ε-δ) dice: $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ se, per ogni $\varepsilon > 0$, esiste $\delta > 0$ tale che, per ogni $x$ con $0 < |x - x_0| < \delta$, si ha $|f(x) - L| < \varepsilon$. In pratica: i valori di $f(x)$ si avvicinano quanto si vuole a $L$ quando $x$ si avvicina a $x_0$.

Esercizi: Limiti — Applicare la definizione (32 esercizi svolti)

Operazioni sui limiti e forme indeterminate

I limiti si combinano con le classiche operazioni algebriche. I casi critici sono le forme indeterminate: $\left[\frac{0}{0}\right]$, $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$, $[\infty – \infty]$, $[0 \cdot \infty]$.

Esempio svolto — forma indeterminata 0/0

Calcolare: $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2}$$

Sostituendo $x = 2$ si ottiene $\frac{0}{0}$: forma indeterminata. Scomponiamo il numeratore:

$$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$$

Il limite vale 4.

Esempio svolto — forma indeterminata ∞/∞

Calcolare: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + x – 1}{2x^2 – 5}$$

Raccogliamo $x^2$ al numeratore e al denominatore:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(3 + \frac{1}{x} – \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2 – \frac{5}{x^2}\right)} = \frac{3}{2}$$

Esercizi svolti:

Limiti per tipo: finiti e infiniti

Una classificazione sistematica dei limiti si basa sul tipo di $x_0$ (valore finito o infinito) e sul tipo di limite $L$ (finito o infinito). Ogni combinazione ha tecniche di calcolo specifiche.

Limiti notevoli

I limiti notevoli ricorrono frequentemente. Principali:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$$

Formulario: Limiti notevoli — Formulario

Continuità e punti di discontinuità

Una funzione $f$ è continua in $x_0$ se $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. I tipi di discontinuità sono:

  • 1° specie (salto): limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi.
  • 2° specie: almeno un limite laterale è infinito o non esiste.
  • 3° specie (eliminabile): il limite esiste ma è diverso da $f(x_0)$.

Esempio svolto — verifica di continuità

Verificare se $f(x) = \dfrac{x^2 – 1}{x – 1}$ è continua in $x_0 = 1$.

$f(1)$ non è definita. Calcoliamo il limite:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 – 1}{x – 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$$

Il limite esiste (vale 2) ma $f(1)$ non è definita: discontinuità eliminabile (3° specie).

Tutti gli esercizi svolti sui limiti

Formulari:

Esercizi svolti:

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82 thoughts on “Limiti di funzioni”

  1. Ciao, qualcuno potrebbe spiegarmi come risolvere questo limite?

    lim 2x+3/(3x-1)^4
    x->∞

    So che il risultato è 0 ma non so come risolvere la forma indeterminata

    Rispondi

  10. Ciao Alberto,
    Complimenti per il sito, potresti risolvere questi due limiti:
    limite x tende a + infinito di 2x^2 + 3/x^2 +1 e verificare il risultato utilizzando la definizione di limite
    limite x tende a 0+ di 1/2e^x – 2

    Rispondi

  11. Ciao Albert! Innanzitutto complimenti per il sito!
    Volevo sapere se potevi aiutarmi con questo limite!
    lim (3x – cos x^2 ) / (2x + sin^2 x)
    per x -> infinito
    Ringrazio anticipatamente! :D

    Rispondi

  14. Salve!per favore potrebbe aiutarmi con questi due limiti?
    il primo è: lim per x che tende a 2+ di log(x-2)tutto diviso X^2-4
    il secondo è:lim per x che tende a 27 di x-27 il tutto diviso per (x^1/3)-3

    grazie infinite

    Rispondi

    1. Ciao Massimiliano, grazie, perdonami ma è troppo lungo risolverlo qui… cumunque proverei a porre 1/n=t (quindi n->0) e poi proverei ad usare Mc Laurin.

    1. lim (x->-inf) [log(1+e^(-x))-1+e^(-|x|)]/x =

      lim (x->-inf) (log(1+e^(-x)))/x -1/x +(e^(-|x|))/x

      lim (x->-inf) (log(1+e^(-x)))/x +0 +0/(-inf) =
      lim (x->-inf) (log(1+e^(-x)))/x =

      …e questo lo risolvi con de l’hopital

  21. Salve! Prima di tutto complimenti per il sito, è davvero ben fatto e l’ho trovato utilissimo per esercitarmi.
    Ho un piccolo problema con questo limite:
    Lim x–>+inf [(e^2x-e^x+senx)/(x^3-x^2)]
    Secondo il software wolfram alpha il risultato dovrebbe essere -inf, ma a me viene +inf.
    Io lo risolvo così:
    metto in evidenza e^x al numeratore e x^3 al denominatore:
    Lim [e^x(e^x-1+(senx/e^x))]/[x^3(1-(1/x))]
    così avrò
    Lim(e^x/x^3)Lim[(e^x-1+(senx/e^x))/(1-(1/x))]
    Il primo è un limite notevole e vale +inf, il secondo equivale a:
    (+inf-1-0)/(1-0) quindi= +inf
    Il mio risultato finale è quindi:
    (+inf)(+inf)=+inf
    Dov’è che sbaglio?
    Grazie :)

    Rispondi

    1. 1) lim (x->inf) 2^x sen(n/2^x) = [inf*0]
      lim (x->inf) sen(n 2^(-x)) / 2^(-x) = [0/0]

      t=2^(-x) -> t->0

      lim (t->0) sen(nt) / t = (De L’hopital)
      lim (t->0) ncos(nt) / 1 = n * 1 = n

      2) Proverei a farlo con Mc Laurin ponendo t=x-alfa in modo che t tenda a zero, e (sen(t+alfa))^3=(t+alfa)^3

  25. Ciao.. potresti per favore aiutarmi a risolvere questo limite per x->o lim[log( cos(x^2*2^1/2))- xsinx+x^2]/x^4/6… grazie mille…complimenti per il sito…molto utile davvero…

    per specificare meglio l’argomento del coseno è “radice quadrata di due” *x^2 .. grazie ancora

    Rispondi

  26. Albert non riesco a calcolare questo limite!!!
    lim per x–>+inf di x/2 [(rad di 9x^2-3x+5/x+1)-3]
    Dovrebbe uscire la forma inderminta inf/inf ma sono bloccata!!! Ho provato a razionalizzare ma non riesco..se puoi darmi un aiuto spiegandomi i passaggi!!
    Grazie tanteee

    Rispondi

    1. La radice va a infinito, perchè il numeratore del radicando ha grado superiore del denominatore (vediti le razionali fratte). Nella quadra inf-3=inf, quindi inf*inf = infinito

  28. scusami se ti disturbo ma come si svolgono questi esercizi?
    – lim (x-> infinito) x^2/e^x
    – lim (x-> – infinito) 2x^4+2x^3+3 / x^5 -3x+2
    – lim (x-> – infinito) x^5-1 / x^7+1

    Rispondi

    1. Il primo lo risolvi con de l’hopital (2 volte): vince l’infinito al denominatore e il limite va a zero

      Gli altri due sono funzioni razionali fratte: raccogli la x di grado massimo al numeratore e denominatore ottenendo zero in entrambi i casi (i denominatori hanno grado superiore). Qui hai vari esempi simili:

      http://www.matepratica.info/2012/02/limiti-di-funzioni-razionali-fratte.html

      http://www.matepratica.info/2012/02/limiti-di-funzioni-razionali-fratte_24.html

    1. fai
      lim (x->-1) f(x) = [0/0]
      = lim (x->-1) x+1/((x+1)(x-1)) =
      = lim (x->-1) 1/(x-1) = -1/2

      ed è quindi una discontinuità di terza specie

  30. Ciao Albert!
    Ho questo limite: rad cubica di x^3-1. Per +-inf il risultato è direttamente inf per entrambi? Grazie tanteee!! :)

    Rispondi

    1. devo calcolare anche l’asintoto obliquo..facendo f(x) fratto x quindi,ho messo in evidenza x^3 al numeratore dentro la radice..ma non riesco più a continuare!!!

    2. – Per x->+inf f(x) tende a +inf
      – Per x->-inf f(x) tende a -inf

      – Si poi porti fuori x^3 e al numeratore ti resta x (che si semplifica col denominatore) per la radice di (1-0) quindi m=1

    3. scusa, ma come faccio a portare x^3 fuori? Anche se lo facessi, mi rimane comunque senza che lo possa semplificare! Dov’è il mio erroree?? Grazie..

  31. Ciao Albert!! Ho difficoltà con questo limite! Puoi aiutarmi?
    lim (x–> +- 1/rad2) di 5e^x / (2x^2-1).
    Inoltre, per il lim–>-inf mi esce inf, invece dovrebbe dare 0. Un’ultima cosa..in questa funzione devo calcolare anche il lim che tende a 0? Nel dominio non è escluso 0?
    Grazie mille!!!!

    Rispondi

    1. Ciao,

      lim (x–> +- 1/rad2) di 5e^x / (2x^2-1) =
      = numero / zero = infinito

      lim (x–> -inf) di 5e^x / (2x^2-1) =
      = zero / infinito = zero

      Per x=0 la funzione vale -5, non ci sono discontinuità

  32. Io porrei t=1/x^2 che tende a infinito per x che tende a zero, quindi il tuo limite è uguale a:

    lim(t–>inf) di e^t / t^2 = [inf/inf]

    Vai 2 volte con de l’hopital ottenendo

    lim(t–>inf) di e^t / 2 = infinito

    Rispondi

  33. Ciao Albert, potresti aiutarmi con questo limite?
    lim(x–>0) di x^2 e^1/x^2
    mi viene la forma inderminata 0 per inf e ho provato con la regola di dividere numer e denom per il termine che tende a 0, ma non mi esce!
    Grazie in anticipo

    Rispondi

    1. lim(x–>+inf) di e^(x-x^2) =
      lim(x–>+inf) di e^((1/x-1)x^2) =
      lim(x–>+inf) di e^((0-1)x^2) =
      lim(x–>+inf) di e^(-x^2) =
      = e^(-inf) = 0

  35. Ciau mi complimenti anch’io per il sito e se posso domando un limite:

    per x che tende a infinito ln(1+3e^x)-x, viene la forma differenza di infini con lo stesso segno. Non mi pare si possano fare messe in evidenza nè tantomeno applicare asintotiche equivalenze :(

    Rispondi

    1. Ciao! Raccogli e^x dentro l’argomento del logaritmo, poi sai che il log di un prodotto è la somma dei log dei fattori, quindi ottieni:

      lim ln(e^x) +ln(1/e^x +3) -x
      lim xln(e) +ln(1/e^x +3) -x
      lim x +ln(1/e^x +3) -x
      lim ln(1/e^x +3) = ln(3)

  39. Spero di non essere tardi allora… però non hai specificato a cosa tende x:

    Se x tende a zero come immagino, basta usare de l’hopital due volte:

    (1/sqrt(1+x) -e^(x)) / (2x) =
    (-1/(2(sqrt(1+x))^3) -e^(x))/2=
    = (-1/2-1) /2 = -3/4

    Rispondi

  41. lim x->∞ sqrt(x^2-x)-xsin(1/x)

    è una questione di raccoglimenti:

    lim x->∞ sqrt(x^2-x)-xsin(1/x) =
    lim x->∞ sqrt(x^2 (1-1/x))-xsin(1/x)=
    lim x->∞ x sqrt(1-1/x) -xsin(1/x) =
    lim x->∞ x (sqrt(1-1/x)-sin(1/x)) =
    lim x->∞ x (1-0) =
    lim x->∞ x = ∞

    Rispondi

  42. lim x->0 (1\x +lnx) = [inf-inf]
    che una forma indeterminata.

    Faccio il comune denominatore:
    lim x->0 (1\x +lnx) =
    lim x->0 (1+xlnx)/x =

    Ora mi occupo della forma indeterminata:
    lim x->0 (xlnx) = [0*inf]
    lim x->0 (xlnx) =
    lim x->0 (lnx)/(1/x) = [inf/inf]
    applico de l’hopital:
    lim x->0 (lnx)/(1/x) =
    lim x->0 (1/x)/(-1/x^2) =
    lim x->0 (1/x)*(-x^2) =
    lim x->0 (-x) = 0

    Quindi:
    lim x->0 (1+xlnx)/x =
    lim x->0 (1+0)/0 = 1/0 = +inf

    Rispondi

  45. Ciao Anonimo,

    mi dispiace, ma così come l’hai scritto non si riesce a capire il testo dell’esercizio: metti un po’ di parentesi in modo che si riesca a capire qual’è l’esponente del seno, e quale il suo argomento…

    Rispondi

  46. determinare il valore di alfa maggiore di zero tale che il limite per x che tende a omeno di sen^3x +1 -cosx + radice di tgx \ x ^alfa sia uguale a zero…ti ringrazio in anticipo!!!

    Rispondi

  48. ciao potresti per favore risolvere questo limite ? per x che tende a infinito ..radice di x – lnx \x-arctgx
    alllora io ho trascurato al numeratore il logaritmo,al denominatore cosa devo trascurare?? è molto urgente..grazie mille davvero

    Rispondi

  49. – Limite per x che tende a +-inf:

    lim (x-1)e^-|x-1| =
    lim (x-1)/e^|x-1| = [inf/inf]
    Puoi usare De L’Hopital nei due casi. Per x–>+inf:
    lim (x-1)/e^|x-1| =
    lim (x-1)/e^(x-1) =
    lim 1/e^(x-1) = [1/+inf] = 0+
    Per x–>-inf:
    lim (x-1)/e^|x-1| =
    lim (x-1)/e^(-x+1) =
    lim 1/-e^(-x+1) = [1/-inf]= 0-

    Derivata: fai i due casi. Per x<1:
    f(x)=(x-1)e^-(-x+1)
    f(x)=(x-1)e^(x-1)
    Facendo i conti:
    f'(x)=xe^(x-1)
    Per x>=1:
    f(x)=(x-1)e^-(x-1)
    f(x)=(x-1)e^(1-x)
    Facendo i conti:
    f'(x)=(2-x)e^(1-x)

    Rispondi

  50. Albert devo fare il limite e la derivata di questa funzione:
    (x-1)e^-|x-1|. Potresti aiutarmi? Con il limite che da inf/inf non riesco ad applicare nessuna regola.. Grazie in anticipo

    Rispondi

  52. Albert riguardo la funzione di prima è 5e^x / 2x^2 – 1. avevo dimenticato un due. Comunque, se puoi, potresti svolgere anche l’insieme di definizione, i limiti e la derivata cortesemente? Grazie mille..

    Rispondi

  53. Albert scusa
    ho questa funzione: 5e^x / 2x^ – 1.
    il limite per x-> + inf mi potresti dire come si risolve? Esce la forma indeterminata inf/inf, ma non riesco ad andare avanti! Grazie in anticipoo :)

    Rispondi

  54. Ciao Anonimo,

    1)
    lim x->0 x^2/log(x^3+1) = 0/0
    è una forma indeterminata del tipo 0/0 e uso De L’Hopital:

    lim x->0 x^2/log(x^3+1) =
    lim x->0 (2x)/((3x^2)/(x^3+1)) =
    lim x->0 (2x^3 + 2)/(3x)= 2/0 = infinito

    2)
    lim x->0 sin(log(x+1))/x = 0/0
    è una forma indeterminata del tipo 0/0 e uso De L’Hopital:

    lim x->0 sin(log(x+1))/x =
    lim x->0 cos(log(x+1))*(1/(x+1))/1 =
    lim x->0 (cos(log(x+1)))/(x+1) =
    lim x->0 (cos0)/1 = 1/1 = 1

    Rispondi

  55. ciao, potresti risolvere questi due limiti:
    lim x->0 x^2/log(x^3+1)

    lim x->0 sin(log(x+1))/x

    P.S:complimenti per il sito, fatto molto utile e davvero utile!

    Rispondi

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