Analisi Matematica

Tra tutti i triangoli con la stessa ipotenusa, trovare quello di area massima. Soluzione Chiamiamo i l’ipotenusa, ricordandoci che è

Calcolare la derivata terza delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{\frac{5}{3}} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}

Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o

Calcolare la derivata seconda delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\sqrt{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\left(0-2\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\frac{1}{\left(2\sqrt{x}\right)^{2}}

Scrivere l’ equazione della tangente al grafico di ciascuna delle seguenti curve nei punti la cui ascissa è indicata a

Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni nel punto indicato a fianco di ciascuna di esse:

Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o

Problemi svolti di massimo e minimo sui quadrilateri: Massimi e minimi – Problema 7 Massimi e minimi – Problema 8

Determinare l’ordine e la parte principale dei seguenti infiniti: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{3}-x^{2}+1 \] per \[ x\rightarrow\infty \] Soluzione In

Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni in un generico punto x del rispettivo dominio. Confrontare

Determinare l’ordine e la parte principale dei seguenti infinitesimi: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{2}-1 \] per \[ x\rightarrow1 \] Soluzione In

Di tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro 2P, qual’è quello di superficie massima? Soluzione Dato un rettangolo generico di

Calcolare i seguenti limiti, che spesso si presentano in forme indeterminate: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}e^{\frac{1}{2\cos x-1}} \] Questo limite NON

Calcolare i seguenti limiti, che si presentano in forme indeterminate: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \] Questo limite si presenta nella

Tra tutti triangoli rettangoli aventi costante la somma tra ipotenusa e un cateto, qual è quello di area massima? Soluzione

Ricordando i limiti notevoli, calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x} \] Questo limite si presenta nella forma \[

Problemi svolti, raggruppati per argomento, relativi al calcolo dei massimi e dei minimi in un intervallo chiuso e limitato (dettato

Ricordando i limiti notevoli, calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x} \] Sfruttando una proprietà delle potenze, il limite

Calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^{2}+5x-1}{4x^{2}-5x+1} \] \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^{2}+5x-1}{4x^{2}-5x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}\left(3+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^{2}}}{4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{3}{4} \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^{2}-3x+5}{x+1} \] \[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^{2}-3x+5}{x+1}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^{2}\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{2}}\right)}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{2}}\right)}{1+\frac{1}{x}}=\pm\infty \]

Calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x-4}{2x-5} \] Per x=1 si ha \[ 2x-5=-3\neq0 \] quindi la funzione è

Calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-x^{5}+x^{2}\right) \] Soluzione \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-x^{5}+x^{2}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[x^{5}\left(-1+\frac{1}{x^{3}}\right)\right] \] Risulta \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}x^{5}=+\infty \] e \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-1+\frac{1}{x^{3}}\right)=-1